M2_DG_Aula 02 – Tipos de Matrizes

Nesta aula vamos estudar alguns tipos especiais de matrizes, entendendo suas propriedades e aprendendo como obter as mesmas.

Matriz Nula

Uma matriz é denominada Matriz Nula quando todos os seus elementos são nulos, ou seja:

∀i e ∀j ⇨ a_ij = 0

Exemplos:

$\dpi{100} A=\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\\\end{matrix}\right)$ $\dpi{100} B=\left(\begin{matrix}0&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}\right)$

Matriz Diagonal

Condição: para uma matriz ser denominada Matriz Diagonal, ela tem que ser uma Matriz Quadrada, não podendo ser uma Matriz Unitária.

Uma matriz quadrada de ordem n, com n ≥ 2, é denominada Matriz Diagonal, quando todos os elementos não pertencentes a diagonal principal são nulos, ou seja:

Se i = j ⇨ a_ij pode assumir qualquer valor
Se i ≠ j ⇨ a_ij = 0

Exemplos:

$\dpi{100} A=\left(\begin{matrix}2&0\\0&3\\\end{matrix}\right)$ $\dpi{100} B=\left(\begin{matrix}-2&0&0\\0&3&0\\0&0&8\\\end{matrix}\right)$

Matriz Identidade

Denomina-se Matriz Identidade ou Matriz Unidade, toda matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a unidade, ou seja:

Se i = j ⇨ a_ij =1
Se i ≠ j ⇨ a_ij = 0

Representação: I_n (Matriz Identidade de ordem n)

Exemplos:

$\dpi{100} I_2=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)$ $\dpi{100} I_3=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$

Matriz Transposta

Conforme o nome sugere, será feita a transposição dos elementos de uma matriz para obter sua transposta.

Simbolicamente, dada uma matriz A, sua transposta é representada por A^t.

Na prática, as linhas da matriz A serão iguais às correspondentes colunas da matriz A^t.

Se A é do tipo n×m, sua transposta A^t será do tipo m×n.

Quantos aos elementos, um elemento de posição (ij) da matriz A, será igual ao elemento de posição (ji) da matriz A^t.

Exemplo:

$\dpi{100} A=\left(\begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{matrix}\right)$ $\dpi{100} A^t=\left(\begin{matrix}1&4\\2&5\\3&6\\\end{matrix}\right)$

Matriz Oposta

Dada uma matriz A, denomina-se Matriz Oposta de A, a matriz B = – A (ou B = A’), onde todos os elementos pertencentes a B e seus correspondentes de A tem sinais opostos (b_ij = – a_ij)

Exemplo:

$\dpi{100} A=\left(\begin{matrix}1&-2&\ \ 8\\0&\ 4&-5\\\end{matrix}\right)$ $\dpi{100} B\ =-\ A=\left(\begin{matrix}-1&\ 2&-8\\\ \ 0&-4&\ \ 5\\\end{matrix}\right)$

Matriz Triangular

Condição: para uma matriz ser denominada Triangular, ela tem que ser uma Matriz Quadrada, não podendo ser uma Matriz Unitária.

Uma matriz quadrada de ordem n, com n ≥ 2, é denominada Matriz Triangular, quando todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos.

Exemplos:

$\dpi{100} A=\left(\begin{matrix}2&4&\ 7\\0&1&\ 6\\0&0&3\\\end{matrix}\right)$ $\dpi{100} B=\left(\begin{matrix}2&0&\ 0\\3&1&\ 0\\5&8&3\\\end{matrix}\right)$

A matriz A tem os elementos nulos abaixo da diagonal principal, sendo classificada como Matriz Triangular Superior.

A matriz B tem os elementos nulos acima da diagonal principal, sendo classificada como Matriz Triangular Inferior.

Matriz Simétrica e Assimétrica

Condição: para uma matriz ser denominada Simétrica (Assimétrica), ela tem que ser uma Matriz Quadrada, não podendo ser uma Matriz Unitária.

Uma matriz quadrada de ordem n, com n ≥ 2, é denominada Matriz Simétrica, quando ela é igual a sua matriz transposta, ou seja: A = A^t.

Consequência: a Matriz Simétrica é “simétrica” em relação a diagonal principal.

Exemplos:

$\dpi{100} A=\left(\begin{matrix}3&7\\7&1\\\end{matrix}\right)$ $\dpi{100} B=\left(\begin{matrix}\ 1&-3&5\\-3&\ 1&6\\\ 5&\ 6&1\\\end{matrix}\right)$

Uma matriz quadrada de ordem n, com n ≥ 2, é denominada Matriz Assimétrica ou Antissimétrica, quando a sua matriz oposta é igual a sua matriz transposta, ou seja: – A = A^t.

Consequências:

1 – A Matriz Assimétrica é “assimétrica” em relação a diagonal principal;

2 – A diagonal principal tem todos os seus elementos nulos.

Exemplos:

$\dpi{100} A=\left(\begin{matrix}0&-7\\7&0\\\end{matrix}\right)$ $\dpi{100} B=\left(\begin{matrix}\ 0&-3&-5\\3&\ 0&6\\\ 5&\ -6&0\\\end{matrix}\right)$

Exercícios Resolvidos

01 – (UNICAMP – Adaptado) Considere a matriz $\dpi{100} A=\left(\begin{matrix}a&1&1\\-1&0&b\\c&-2&0\\\end{matrix}\right)$ , onde a, b e c são números reais. Os valores de a, b e c de modo que A^t = – A, são:

Resolução:

Vamos determinar a transposta A^t:

$\dpi{100} A^t=\left(\begin{matrix}a&-1&c\\1&0&-2\\1&b&0\\\end{matrix}\right)$

Agora a oposta – A:

$\dpi{100} -A=\left(\begin{matrix}-a&-1&-1\\\ 1&0&-b\\-c&2&\ 0\\\end{matrix}\right)$

Como A^t = – A, os termos correspondentes têm que ser iguais:

a = – a ⇨ para isso acontecer, temos que a = 0
c = – 1
b = 2

02 – (UEG) A matriz triangular de ordem 3, na qual a_ij = 0 para i > j e a_ij = 4i – 5j + 2 para i ≤ j é representada pela matriz

a) $\dpi{100} \left(\begin{matrix}1&-4&-9\\0&0&-5\\0&0&-1\\\end{matrix}\right)$ b) $\dpi{100} \left(\begin{matrix}1&-4&-9\\0&1&-5\\0&0&0\\\end{matrix}\right)$ c) $\dpi{100} \left(\begin{matrix}3&8&13\\0&4&9\\0&0&5\\\end{matrix}\right)$

d) $\dpi{100} \left(\begin{matrix}3&0&0\\8&4&0\\13&9&5\\\end{matrix}\right)$ e) $\dpi{100} \left(\begin{matrix}1&0&\ 0\\-4&0&\ 0\\-9&-5&-1\\\end{matrix}\right)$

Resolução:

Vamos inserir diretamente na matriz para efetuarmos os cálculos.

$\dpi{100} \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right]$ = $\dpi{100} \left[\begin{matrix}4.{\color{Red} 1}-5.{\color{Red} 1}+2&4.{\color{Red} 1}-5.{\color{Red} 2}+2&4.{\color{Red} 1}-5.{\color{Red} 3}+2\\0&4.{\color{Red} 2}-5.{\color{Red} 2}+2&4.{\color{Red} 2}-5.{\color{Red} 3}+2\\0&0&4.{\color{Red} 3}-5.{\color{Red} 3}+2\\\end{matrix}\right]$ = $\dpi{100} \left[\begin{matrix}1&-4&-9\\0&0&-5\\0&0&0\\\end{matrix}\right]$

Resposta: alternativa a

Exercícios Propostos

01 – (FisMática) Sabendo-se que a matriz M é igual à sua transposta M^t, os valores de x e y, respectivamente, são:

$\dpi{100} M=\begin{bmatrix} 0&x+2&3\\8&0&3\\3&y-1&0 \end{bmatrix}$

a) 8 e 3 b) 1 e 5 c) 5 e 1 d) 6 e 4 e) 4 e 6

02 – (UEG) Dada a matriz $\dpi{100} A=\begin{pmatrix} e^{2x^2}&0\\0&|y+x| \end{pmatrix}$ e seja B uma matriz identidade de ordem 2, os valores de x e y não negativos, tal que as matrizes A e B sejam iguais, são respectivamente

a) 0 e 1 b) 1 e 1 c) 0 e √2/2 d) √2/2 e 1 – √2/2

03 – (MACK) Se a matriz

$\dpi{100} \begin{bmatrix} 1&x+y+z&3y-z+2\\4&5&-5\\y-2z+3&z&0 \end{bmatrix}$

é simétrica, o valor de x é

a) 0 b) 1 c) 6 d) 3 e) – 5

04 – (UEL) Conforme dados da Agência Nacional de Aviação Civil (ANAC), no Brasil, existem 720 aeródromos públicos e 1814 aeródromos privados certificados. Os programas computacionais utilizados para gerenciar o tráfego aéreo representam a malha aérea por meio de matrizes. Considere a malha aérea entre quatro cidades com aeroportos por meio de uma matriz. Sejam as cidades A, B, C e D indexadas nas linhas e colunas da matriz 4×4 dada a seguir. Coloca-se 1 na posição X e Y da matriz 4×4 se as cidades X e Y possuem conexão aérea direta, caso contrário coloca-se 0. A diagonal principal, que corresponde à posição X = Y, foi preenchida com 1.

Considerando que, no trajeto, o avião não pode pousar duas ou mais vezes em uma mesma cidade nem voltar para a cidade de origem, assinale a alternativa correta.

a) Pode-se ir da cidade A até B passando por outras cidades.

b) Pode-se ir da cidade D até B passando por outras cidades.

c) Pode-se ir diretamente da cidade D até C.

d) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e B.

e) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e C.

05 – (EEAR) Se $\dpi{100} \begin{pmatrix} 1&a\\-1&2 \end{pmatrix}$ e $\dpi{100} \begin{pmatrix} b&-1\\x&2k \end{pmatrix}$ são matrizes opostas, os valores de a, b, x e k são respectivamente

a) 1, –1, 1, 1 b) 1, 1, –1, –1 c) 1, –1, 1, –1 d) –1, –1, –2, –2

06 – (UEL) Sabendo-se que a matriz mostrada na figura adiante

$\dpi{100} \begin{bmatrix} 5&x^2&2-y\\49&y&3x\\-1&-21&0 \end{bmatrix}$

é igual à sua transposta, o valor de x + 2y é:

a) – 20 b) – 1 c) 1 d) 13 e) 20

07 – (UEL) Uma matriz quadrada A se diz ANTISSIMÉTRICA se A^t = – A. Nessas condições, se a matriz A mostrada na figura adiante é uma matriz antissimétrica, então x + y + z é igual a

$\dpi{100} A=\begin{bmatrix} x&y&z\\ 2&0&-3\\-1&3&0 \end{bmatrix}$

a) 3 b) 1 c) 0 d) – 1 e) – 3

08 – (UFSM) Sabendo-se que a matriz

$\dpi{100} A=\begin{bmatrix} y&36&-7\\x^2&0&5x\\4-y&-30&3 \end{bmatrix}$

é igual à sua transposta, o valor de 2x + y é

a) – 23 b) – 11 c) – 1 d) 11 e) 23

09 – (UNESP) Considere três lojas, L₁, L₂ e L₃, e três tipos de produtos, P₁, P₂ e P₃. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento a_ij da matriz indica a quantidade do produto P_i vendido pela loja L_j, i, j = 1, 2, 3.

Analisando a matriz, podemos afirmar que

(a) a quantidade de produtos do tipo P₂ vendidos pela loja L₂ é 11.

(b) a quantidade de produtos do tipo P₁ vendidos pela loja L₃ é 30.

(d) a soma das quantidades de produtos do tipo P_i vendidos pelas lojas L_i, i = 1,2,3, é 52.

(e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P₁ e P₂ vendidos pela loja L₁ é 45.

10 – (UDESC) Sendo a matriz

$\dpi{100} \begin{bmatrix} x^2-6x+9&0\\x^2-3x-4&1 \end{bmatrix}$

igual à matriz identidade de ordem 2, o valor de 2.x é:

a) – 4 b) 6 c) 4 d) 8 e) – 8

Gabarito

Ex. 01 – alternativa d.

Ex. 02 – alternativa a.

Ex. 03 – alternativa c.

Ex. 04 – alternativa a.

Ex. 05 – alternativa c.

Ex. 06 – alternativa b.

Ex. 07 – alternativa d.

Ex. 08 – alternativa c.

Ex. 09 – alternativa e.

Ex. 10 – alternativa d.

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