Certamente você já ouviu falar sobre ângulo e possivelmente já estudou sobre o mesmo.

Antes de definirmos diretamente o que é um ângulo, vamos entender o que são, em matemática, Regiões Côncavas e Regiões Convexas.

Côncavo e Convexo

Como uma introdução dos conceitos, imagine uma colher que você tem em sua casa.

A parte dela que você utiliza para tomar uma sopa, por exemplo, é uma Região Côncava, enquanto que, a parte de fora da colher é uma Região Convexa.

Vamos deixar a formalidade um pouco de lado e entender o que são regiões côncavas ou convexas através das figuras a seguir:

Observem que nas duas primeiras figuras, o segmento AB sempre estará contido nelas, enquanto que, nas duas últimas, uma parte do segmento não estará contida nelas.

Por definição, as duas primeiras figuras definem uma Região Convexa e as duas últimas definem uma Região Côncava.

Formalmente, temos que:

“Uma região é dita convexa, se e somente se, quando dois pontos distintos pertencentes a ela definem um segmento de reta que está contido nessa região.”

Naturalmente, se a condição acima não for atendida, a região será definida como uma Região Côncava.

Nota: por definição, tanto as retas quanto os segmentos de retas são ditas Região Convexas.

Quanto aos Planos, temos o seguinte:

“Um plano α é dita uma Região Convexa, pois, sendo A e B dois pontos distintos de α, o segmento AB sempre estará contido no plano α.”

Semiplano

Antes de iniciar definitivamente o estudo dos ângulos, vamos entender o conceito de Semiplano, o qual será utilizado na continuidade dos estudos.

Como mostra a figura a seguir, uma reta r divide um plano α em duas regiões: α’ e α’’.

Por definição, temos que:

• 
•   são regiões convexas
• 

Conclusão:

“As regiões α’ e α’’ são denominados Semiplanos Abertos, sendo a reta r a origem destes.”

Nota: na figura, α’ e α’’ são denominados Semiplanos Opostos.

Ângulos

A figura a seguir mostra duas semirretas, r e s, não congruentes com uma origem em comum O.

Definição:

“Denomina-se Ângulo a união de duas semirretas, não colineares, com origem comum.”

Matematicamente, temos que:

Formas de representação do ângulo:

Denominações:

• Ponto O =>  Vértice do ângulo
• Semirretas r e s =>  Lados do ângulo

Se analisarmos com mais detalhe a figura anterior, podemos dizer que as semirretas r e s, na verdade, formaram dois ângulos, um interno e outro externo.

Para identificarmos a qual dos dois ângulos estamos nos referindo, vamos utilizar uma marca circular entre as duas semirretas, como mostra a figura.

Aproveitando a figura, já vamos definir pontos internos e externos a um ângulo.

Na figura, temos que o ponto P é dito interno ao ângulo, enquanto que R e Q são pontos externos.

Ângulos Consecutivos, Adjacentes e Opostos pelo Vértice

Nota: os ângulos são representados por letras gregas minúsculas e vamos começar denominá-los dessa forma para deixar as figuras mais limpas e fáceis de serem entendidas.

Ângulos Consecutivos: dois ângulos são denominados Ângulos Consecutivos, se e somente se, tiverem um lado em comum.

Exemplos:

     

Ângulos Adjacentes: dois ângulos são denominados Ângulos Adjacentes, se e somente se, forem consecutivos e não tiverem pontos internos comuns.

Observando a figura anterior vemos que:

• Na primeira, todos os pontos do ângulo α são comuns ao ângulo β e, portanto, não são adjacentes
• Na segunda, não existem pontos comuns aos dois ângulos e, portanto, os ângulos α e β são adjacentes

Ângulos Opostos pelo Vértice: dois ângulos são denominados Ângulos Opostos pelo Vértice, se e somente se, os lados de um deles forem as próprias semirretas opostas aos lados do outro.

Exemplo:

Os ângulos α e β são opostos pelo vértice O.

Nota: Quando dois ângulos são ditos congruentes, eles obedecem a três postulados:

• Simetria: se , então
• Reflexiva: qualquer ângulo é congruente a si mesmo
• Transitiva: se   e , então

Adição e Bissetriz

Adição de dois Ângulos: na figura a seguir, se a semirreta s é comum aos ângulos α e β, então o ângulo ϒ representa a soma dos dois ângulos: ϒ = α + β

Bissetriz de um Ângulo: por definição, a bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna esse ângulo, com origem na própria origem do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes.

• No exemplo da figura a seguir, a semirreta s divide os ângulos formados pelas semirretas r e t em dois ângulos congruentes: 

Classificação dos Ângulos

Ângulo Raso

Denomina-se Ângulo Raso, todo ângulo formado por duas semirretas opostas.

Exemplo:

Ângulo Suplementar Adjacente

Analisando a figura a seguir, vemos que:

O ângulo β é formado pelas semirretas r e s, com origem no ponto O.

O ângulo α é composto pela semirreta s e pela semirreta t que é oposta a semirreta r, com origem no ponto O.

Por definição: “O ângulo α é denominado Ângulo Suplementar Adjacente do ângulo β”.

Na prática, a soma de um ângulo qualquer com o seu suplementar adjacente tem como resultado um ângulo raso.

Ângulo Reto

Denomina-se Ângulo Reto, todo ângulo congruente ao seu suplementar adjacente.

Obs.: o ângulo reto é representado graficamente por um “quadradinho com uma bolinha dentro”.

Nota: podemos observar pela figura que a semirreta s têm sua direção perpendicular à direção das semirretas r e t.

Ângulos Agudo e Obtuso

• Denomina-se Ângulo Agudo, todo ângulo com medida menor do que o ângulo reto.
• Denomina-se Ângulo Obtuso, todo ângulo com medida maior do que o ângulo reto.

Exemplo:

• O ângulo α é um ângulo agudo, pois, é menor do que o ângulo reto
• O ângulo β é um ângulo obtuso, pois, é maior do que o ângulo reto

Medidas dos Ângulos

Existem três sistemas de unidades de medidas dos ângulos que são mais utilizadas: Grau, Grado e Radiano.

Nota: a unidade Radiano será definida e trabalhada no estudo da Trigonometria.

Grau

A unidade Grau é sem dúvidas nenhuma a mais conhecida entre as três.

Certamente você já deve ter visto uma competição de skate e ouvido o narrador dizer com todo entusiasmo frases como:

• O esqueitista fez uma manobra de 180 graus (meia volta)
• O esqueitista fez giro de uma volta completa no ar (giro de 360 graus)

Definição: “Denomina-se Um Grau ( 1° ) a divisão de um ângulo reto em 90 partes iguais.”

ângulo de 1° = (ângulo reto)/90

Consequências:

• A medida de um ângulo Reto é de 90°
• A medida de um ângulo Agudo é sempre menor do que 90°
• A medida de um ângulo Obtuso é sempre maior do que 90°

Nota:   1 – Quando a soma de dois ângulos for igual a 90° eles são ditos complementares.

2 – Quando a soma de dois ângulos for igual a 180° eles são ditos suplementares.

3 – Quando a soma de dois ângulos for igual a 360° eles são ditos replementares.

As subdivisões do sistema de medida em grau, é similar ao nosso sistema de medida de tempo em hora e seus submúltiplos, ou seja:

Para o Tempo, temos:

• 1 h = 60 min (minutos de hora)
• 1 min = 60 s (segundos de hora)
• 1 h = 3.600 s (segundos de hora)

Para o Ângulo, temos:

• 1 ° = 60 ‘ (minutos de grau)
• 1 ‘ = 60 ‘’ (segundos de grau)
• 1 ° = 3.600 ‘’ (segundos de grau)

Por ter seus submúltiplos proporcionais a 60, esse tipo de sistema também é conhecido como Sistema Sexagesimal de Unidades.

Voltando ao grau, vamos definir seus submúltiplos:

• Denomina-se Um minuto de Grau ( 1’ ) a divisão de um ângulo de 1° em 60 partes iguais:

1’ = (1/60)°  ou  1° = 60’

• Denomina-se Um segundo de Grau ( 1’’ ) a divisão de um ângulo de 1’ em 60 partes iguais:

1’’ = (1/60)’  ou  1’ = 60’’

Por consequência:

1’’ = [(1/60)/60]°  =>  1’’ = (1/3600)°   ou  1° = 3.600’’

Grado

Denomina-se Um Grado ( 1 gr ) a divisão de um ângulo reto em 100 partes iguais:

ângulo de 1 gr = (ângulo reto)/100

A duas subdivisões mais importantes do grado são:

• Centígrado (minuto de grado)

1 centígrado = 0,01 gr

• Decimiligrado (segundo de grado)

1 centígrado = 0,0001 gr

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Gabarito

Ex. 01 – alternativa b.

Ex. 02 – alternativa d.

Ex. 03 – alternativa a.

Ex. 04 – alternativa a.

Ex. 05 – alternativa b.

Ex. 06 – alternativa d.

Ex. 07 – alternativa b.

Ex. 08 – alternativa e.

Ex. 09 – alternativa d.

Ex. 10 – alternativa d.