É claro que todo mundo sabe o que é um Triângulo, mas, vamos formalizar o conceito matemático:

“Definidos três pontos distintos e não colineares, A, B e C, à união dos segmentos  denomina-se Triângulo ABC.”

Simbolicamente:

Representação gráfica:

Elementos de um triângulo:

• Vértices: pontos de encontro entre dois lados consecutivos do triângulo

Representados por letras maiúsculas: A, B , C, X, Y, …

• Lados: segmentos de retas que ligam dois vértices

Representados por letras minúsculas: a, b, c, x, y, …

• Ângulos Internos: formados por dois lados consecutivos do triângulo

Geralmente representados por letras gregas minúsculas: α, β, ϒ, …

Seja a reta r paralela ao lado b do triângulo ABC, como mostra a figura a seguir:

I – Observamos da figura, que os ângulos α e α’ são ângulos alternos internos e, portanto, são congruentes, assim como os ângulos ϒ e ϒ’.

II – Na sequência, também observamos que a soma dos ângulos α’, β e ϒ’  é igual a 180°.

Por dedução, juntando os itens I e II, temos que:

α + β + ϒ = 180°

Formalmente, temos que:

“Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°.”

Outro elemento importante, que não faz parte diretamente de um triângulo, é o Ângulo Externo.

Vamos observar a figura a seguir:

Verificamos que os Ângulos Externos α’, β’ e ϒ’ são, respectivamente, suplementares aos ângulos α, β e ϒ, a assim sendo, a soma deles é igual a 180°:

α + α’ = β + β’ = ϒ + ϒ’ = 180°

Classificação dos Triângulos

Todo triângulo pode ser classificado por dois elementos: pelos lados e pelos ângulos (internos).

Quanto aos Lados

Existem três denominações possíveis de um triângulo quanto as medidas de seus lados.

1 – Triângulo Equilátero

Um triângulo é denominado Equilátero quando possui os três lados com medidas iguais.

Obs.: por consequência, os três ângulos internos também são “iguais” (congruentes).

• Medidas dos lados: a = b = c
• Medidas dos ângulos: α = β = ϒ

2 – Triângulo Isósceles

Um triângulo é denominado Isósceles quando possui dois lados com medidas iguais.

Obs.: por consequência, terá dois ângulos internos “iguais” (congruentes).

• Medidas dos lados: a = c ≠ b
• Medidas dos ângulos: α = ϒ ≠ β

3 – Triângulo Escaleno

Um triângulo é denominado Escaleno quando possui os três lados com medidas diferentes.

Obs.: por consequência, os três ângulos internos serão “diferentes” (não congruentes).

• Medidas dos lados: a ≠ b ≠ c
• Medidas dos ângulos: α ≠ β ≠ ϒ

Quanto aos Ângulos

Existem três denominações possíveis de um triângulo quanto as medidas de seus ângulos.

1 – Triângulo Acutângulo

Um triângulo é denominado Acutângulo quando seus ângulos internos têm medidas menores que 90°:  α < 90°  ;  β < 90°  ;   ϒ < 90°

2 – Triângulo Retângulo

Um triângulo é denominado Retângulo quando possui um ângulo com medida igual a 90°.

Obs.: por consequência, a soma das medidas dos outros dois ângulos é igual a 90° (β + ϒ = 90°).

3 – Triângulo Obtusângulo

Um triângulo é denominado Obtusângulo quando possui um ângulo com medida maior que 90°.

Obs.: por consequência, a soma das medidas dos outros ângulos é menor que 90° (β + ϒ < 90°).

Notas:

1 – por construção, em qualquer triângulo, a soma das medidas de dois lados quaisquer, sempre será maior que a medida do outro lado.

2 – Denomina-se perímetro de um triângulo a soma das medidas de seus lados.