Aula 04 – Funções
Antes de definirmos função, vamos observar o exemplo a seguir:
Dados os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2} e B = {-2, 0, 1, 2, 4, 5}, represente por diagramas de flechas as relações:
a) R1 = {(x, y) ∈ AxB / y = x2}
b) R2 = {(x, y) ∈ AxB / y = x + 2}
c) R3 = {(x, y) ∈ AxB / y = 2.x}
d) R4 = {(x, y) ∈ AxB / y > 2.x}
Solução:
a) R1 
b) R2
c) R3 
d) R4
Observando os diagramas, podemos chegar à algumas conclusões:
Em R1:
- Não sobram elementos em A: D(R1) = A
- De cada elemento do domínio sai uma única flecha
- Sobram elementos em B: Im(R1) = {0, 1, 4} ≠ B
- Tem um elemento da Imagem que chega mais de uma flecha
Em R2:
- Sobra um elemento em A: D(R2) = {-1, 0, 2} ≠ A
- De cada elemento do domínio sai uma única flecha
- Sobram elementos em B: Im(R2) = {1, 2, 4} ≠ B
- Em cada elemento da Imagem chega uma única flecha
Em R3:
- Não sobram elementos em A: D(R3) = A
- De cada elemento do domínio sai uma única flecha
- Sobram elementos em B: Im(R3) = {-2, 0, 2, 4} ≠ B
- Em cada elemento da Imagem chega uma única flecha
Em R4:
- Não sobram elementos em A: D(R4) = A
- De alguns elementos do domínio saem mais de uma flecha
- Sobram elementos em B: Im(R4) = {0, 1, 2, 4, 5} ≠ B
- Tem elementos da Imagem que chegam mais de uma flecha
Das observações do exemplo dado, podemos concluir que, nas Relações entre dois conjuntos, existe uma variedade de possibilidades de arranjos entre os elementos de cada conjunto.
Para uma Relação ser denominada Função, devem ocorrer duas situações bem definidas em relação ao conjunto de partida, no nosso caso, o conjunto A:
- 1 – Não pode sobrar nenhum elemento em A, ou seja: D(R) = A
- 2 – Não pode sair mais de uma flecha de algum elemento de A
Obs.: vejam que não há restrições referentes ao conjunto de chegada, no nosso caso, conjunto B.
Conclusão: observando o exemplo dado, concluímos que apenas R1 e R3 são funções.
Definição formal de Função:
Uma Relação de A em B é denominada Função, se e somente se:
- Todo elemento de A tem imagem em B
- A Imagem de cada elemento de A é única
Representação:
- f: A → B
- x ↦ y = f(x)
O significado das representações anteriores é que:
- f é uma função de A m B, a qual associa a cada x ∈ A um único y ∈ B, que obedece a lei: y = f(x).
Nota:
- → indica que existe uma relação de A com B
- ↦ representa a relação existente entre os elementos de A com os elementos de B
Obs.: o conjunto B é denominado Contradomínio da Função: C(f) = B
Resumindo:
Dados dois conjuntos A e B, se f é uma função definida de A em B, onde x ∈ A e y ∈ B, temos que:
- f: A → B
- x ↦ y = f(x)
- D(f) = A
- C(f) = B
- Im(f) ⊂ B
Classificação das Funções
Vamos definir a seguir os três possíveis tipos de funções e exemplificar cada uma delas através de um diagrama de flechas.
Função Sobrejetora
Uma função f: A → B é sobrejetora se e somente se o conjunto imagem de f é o conjunto B (Im(f) = B), isto é, se todo elemento de B é imagem de algum elemento de A
Exemplo:
| A = {-1, 0, 1, 2}
B = {2, 3, 6} f(x) = x2 + 2 |
 |
Obs.: na Função Sobrejetora podem chegar mais de uma flecha num elemento qualquer, mas, não pode sobrar elementos em B, ou seja, o conjunto imagem é o próprio conjunto B: Im(f) = B.
Função Injetora
Uma função f: A → B é injetora se e somente se dois elementos distintos quaisquer de A têm imagens distintas em B, isto é, se ∀x1 ∈ A e ∀x2 ∈ A, x1 ≠ x2, tem-se f(x1) ≠ f(x2).
Exemplo:
| A = {-1, 0, 1, 2}
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} f(x) = x + 2 |
 |
Obs.: na Função Injetora não podem chegar mais de uma flecha num elemento qualquer, mas, pode sobrar elementos em B, ou seja, o conjunto imagem está contido no conjunto B: Im(f) ⊂ B.
Função Bijetora
Uma função f: A → B é bijetora se e somente se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, isto é, se Im(f) = B e se ∀x1 ∈ A e ∀x2 ∈ A, x1 ≠ x2, tem-se f(x1) ≠ f(x2).
Exemplo:
| A = {-1, 0, 1, 2}
B = {1, 2, 3, 4} f(x) = x + 2 |
 |
Obs.: na Função Bijetora não podem chegar mais de uma flecha num elemento qualquer e não pode sobrar elementos em B, ou seja, o conjunto imagem é o próprio conjunto B: Im(f) = B.
Nota: observem que nos dois últimos exemplos, foi utilizada a mesma função, f(x) = x + 2, porém, o que fez a diferença foi a escolha do conjunto B.
Exercícios Resolvidos
01 – (ENEM) No primeiro ano do ensino médio de uma escola, é hábito os alunos dançarem quadrilha na festa junina. Neste ano, há 12 meninas e 13 meninos na turma, e para a quadrilha foram formados 12 pares distintos, compostos por uma menina e um menino. Considere que as meninas sejam os elementos que compõem o conjunto A e os meninos, o conjunto B, de modo que os pares formados representem uma função f de A em B.
Com base nessas informações, a classificação do tipo de função que está presente nessa relação é
a) f é injetora, pois para cada menina pertencente ao conjunto A está associado um menino diferente pertencente ao conjunto B.
b) f é sobrejetora, pois cada par é formado por uma menina pertencente ao conjunto A e um menino pertencente ao conjunto B sobrando um menino sem formar par.
c) f é injetora, pois duas meninas quaisquer pertencentes ao conjunto A formam par com um mesmo menino pertencente ao conjunto B para envolver a totalidade de alunos da turma.
d) f é bijetora, pois dois meninos quaisquer pertencentes ao conjunto B formam par com uma mesma menina pertencente ao conjunto A.
e) f é sobrejetora, pois basta que uma menina do conjunto A forme par com dois meninos pertencentes ao conjunto B, assim nenhum menino ficará sem par.
Resposta:
a) A afirmação é verdadeira.
b) Como sobra um menino sem formar par, a função não é sobrejetora. (Falsa)
c) O texto diz que tem duas meninas formando par com um mesmo menino, o que não é permitido pela definição de função (saem duas flechas de um mesmo elemento). (Falsa)
d) Para ser bijetora, a função tem que ser injetora e sobrejetora e vimos no item b que a função não é sobrejetora. (Falsa)
e) Novamente como no item (c), saem duas flechas de um mesmo elemento. (Falsa)
02 – (UFPE) Dentre as curvas a seguir, qual pode ser o gráfico de uma função injetora y = f(x)?
Resposta:
Uma técnica simples para resolver esse tipo de problema, é traçar linhas paralelas aos eixos, como mostra a figura a seguir, onde as linhas vermelhas são paralelas ao eixo x e a amarela ao eixo y.
Para ser função, a linha paralela ao eixo y só pode cortar uma única vez o gráfico, pois, se cortar duas ou mais vezes, mostrará que existe pelo menos um elemento x que terá mais de um correspondente em y (saem mais de uma flecha de um mesmo elemento x).
Portanto, o gráfico do item (c) não é função.
Agora, observando os outros quatro gráficos, vemos que em três deles, (a), (b) e (d), a linha vermelha corta mais de uma vez o gráfico em alguns pontos. Isso quer dizer que nesses pontos, existem elementos y que tem mais de um correspondente x (chegam mais de uma flecha em alguns elementos y)
Portanto, essas três funções não são injetoras, e sim, sobrejetoras.
A única função que atende as condições para ser injetora é a do item (e). (alternativa e)
03 – (FisMatica) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {-1, 1, 2, 3, 4, 5} determine os conjuntos domínio e imagem da função f: A → B, f(x) = 3.x – 4.
Resolução:
Vamos calcular os valores de f(x) para todos os elementos de A:
f(1) = 3×1 – 4 = 3 – 4 = – 1
f(2) = 3×2 – 4 = 6 – 4 = 2
f(3) = 3×3 – 4 = 9 – 4 = 5
f(4) = 3×4 – 4 = 12 – 4 = 8
Domínio: não pode sobrar elemento no domínio e vemos que o elemento 4 não tem um correspondente em B: f(4) = 8
Portanto, o domínio será: D(f) = {1, 2, 3}
Imagem: é o subconjunto de B onde todos os elementos tem um correspondente do domínio, que não é o caso dos elementos: -1, 3 e 4.
Portanto, a imagem será: Im(f) = {-1, 2, 5}
04 – (AMAN) O domínio da função real é
a) ] 2, ∞ [ b) ] 2, 6 [ c) ] – ∞, 6 ] d) ] –2, 2 ] e) ] – ∞, 2 [
Resolução:
Nesse tipo de problemas, temos que satisfazer as condições de validade da função.
No numerador, temos uma raiz quadrada e, como a raiz par de um número negativo não pertence ao conjunto dos números reais, temos que:
2 – x > 0 => – x > -2 ou x < 2
No denominador, por não existir divisão por zero, os valores de x tem que diferente das raízes da equação, ou seja:
x2 – 8.x + 12 ≠ 0
Δ = b2 – 4.a.c = (-8)2 – 4x1x12 = 64 – 48 = 16
x = (-b ± √Δ)/2.a = [- (-8) ± √16]/2×1 = (8 ± 4)/2 => x1 ≠ 6 ou x2 ≠ 2
Para satisfazer as duas condições: x < 2 com x ≠ 6 e x ≠ 2, a solução é a alternativa e.