Função Inversa

Definida uma função f: A → B, será que é possível inverter o processo? Ou seja, definir uma função que vá no caminho opôs: f_i: B → A?

Num Diagrama de Venn, teríamos:

Dentro de determinadas condições, a resposta é afirmativa: sim, é possível.

Nota: a função inversa de f, se existir, será representada por f^-1.

Vimos na aula anterior, que para uma dada Relação ser definida como Função, “não pode sobrar elementos no Domínio dessa função”.

Numa função inversa, o conjunto imagem da função a ser invertida, passa a ser o domínio de sua inversa.

Como consequência, para uma função admitir uma inversa, não pode sobrar elementos no contradomínio, ou seja:

• A função tem que ser sobrejetora

Vimos ainda que, para ser função, “cada elemento de A, tem que ter uma única imagem em B.

Nestas condições, para que uma função admita uma inversa, cada elemento da Imagem terá que ter um único correspondente do Domínio, ou seja:

• A função tem que ser injetora

Conclusão: para que uma função admita a inversa, ela tem que ser sobrejetora e injetora, ou seja:

“Para uma função admitir inversa, ela tem que bijetora:”

Resumindo: Dada uma função f: A → B, para existir inversa f^-1: B → A, temos que:

• f tem que ser bijetora
• D(f) = Im(f^-1)
• Im(f) = D(f^-1)

Vamos a seguir, ver uma regra para facilitar a inversão de uma função.

Regra Prática:

Considerando uma função f: A → B, definida pela expressão y = f(x), podemos obter a sua inversa f^-1: B → A, aplicando as seguintes regras:

• Na expressão para y = f(x), troca-se a variável “x” pela letra “y”, para se obter x = f(y);
• Isola-se “y”, que ficará em função de “x”, para se obter a expressão de y = f(x).

Exemplo:

Determine a função inversa da função bijetora f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 2.x + 1.

Resolução:

Função:

f(x) = 2.x + 1  ⇨  y = 2.x + 1

Trocando a variável x por y, temos:

x = 2.y + 1

Isolando y, temos que:

x = 2.y + 1  ⇨  2.y = x – 1  ⇨  y = (x – 1)/2

Ou seja:

f^-1: ℝ → ℝ , sendo f^-1(x) = (x – 1)/2

Importante:

Como veremos no Exercício Resolvido 01, os gráficos de uma função f(x) e de sua inversa f^-1(x), são simétricas em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (I e III).

Função Composta

Como o próprio título sugere, Função Composta representará a composição entre duas funções pré-definidas.

Primeiramente vamos representar duas funções f: A → B e g: B → C e a composta h(x) = g(f(x)), sendo h: A → C, através de um Diagrama de Venn.

Na sequência, vamos fazer um exemplo para fortalecer o conceito de função composta.

Dados os conjuntos A = {0, 1, 3}, B = {0, 2, 6} e C = {-3, -1, 3} e as funções f: A → B, sendo f(x) = 2.x e g: B → C, sendo g(x) = x – 3, determine a função composta h(g(x)).

Resolução:

Vamos inicialmente calcular os pares ordenados de f(x):

f(x) = 2.x

f(0) = 2.0 = 0  ⇨  (0; 0)

f(1) = 2.1 = 2  ⇨  (1; 2)

f(3) = 2.3 = 6  ⇨  (3; 6)

Vamos agora calcular os pares ordenados de g(x):

g(x) = x – 3

g(0) = 0 – 3 = – 3   ⇨  (0; – 3)

g(2) = 2 – 3 = – 1   ⇨  (2; – 1)

g(6) = 6 – 3 = 3   ⇨  (6; 3)

Finalmente vamos calcular os pares ordenados de h(x):

Primeiro vamos calcular a expressão para h(x) que define a função, substituindo a expressão para f(x) no lugar da variável x em g(x):

g(x) = x – 3

h(x) = f(x) – 3

h(x) = (2.x) – 3

h(x) = 2.x – 3

Calculando os pares ordenados, temos que:

h(x) = 2.x – 3

h(0) = 2×0 – 3 = – 3   ⇨  (0; – 3)

h(1) = 2×1 – 3 = – 1   ⇨  (1; – 1)

h(3) = 2×3 – 3 = 3   ⇨  (3; 3)

Após termos uma noção do que representa uma função composta, vamos definir formalmente este tipo de função:

“Sendo f: A → B e g: B → C, denomina-se Função Composta de f e g, a função h: A → C, onde h(x) = g(f(x).”

Nota: simbolicamente, a representação de h(x) = g(f(x)) é h = g∘f, que se lê “g bola f”.

Funções: Par e Ímpar

Considerando a função f definida por:  f: ℝ → ℝ

x ↦ y = f(x)

• Denomina-se Função Par, toda função em que dois elementos opostos, pertencentes ao domínio, terão uma única imagem, ou seja: f(–x) = f(x)

Como consequência, o gráfico de uma Função Par é sempre simétrico em relação ao eixo y.

• Denomina-se Função Ímpar, toda função em que dois elementos opostos, pertencentes ao domínio, terão imagens opostas, ou seja: f(–x) = – f(x)

Como consequência, o gráfico de uma Função Ímpar é sempre simétrico em relação à origem do Plano Cartesiano.