Aula 05 – Teorema de Tales
Na aula anterior, trabalhamos com duas retas paralelas cortadas por uma transversal, sendo estudada a relação entre os ângulos formados pelas intersecções das retas.
Nesta aula, vamos trabalhar com três, ou mais, retas paralelas cortadas por duas transversais, sendo estudadas as relações entre os segmentos de retas que se formam, utilizando como ferramenta o Teorema de Tales.
Antes de enunciarmos o teorema, vamos definir alguns termos preliminares.
A figura a seguir apresenta um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais:
Observando a figura, podemos definir:
- Pontos Correspondentes: A e A’; B e B’; C e C’
- Seguimentos Correspondentes:
;
;
- Medidas dos Seguimentos Correspondentes: x e x’; y e y’
Teorema de Tales
As relações entre os seguimentos de retas da figura anterior, obedecem ao Teorema de Tales:
“Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas transversais, distintas, a razão entre dois seguimentos quaisquer de uma transversal será igual a razão entre os respectivos seguimentos correspondentes formados pela outra transversal.”
Matematicamente, temos que:
ou
ou
Geralmente nos exercícios, principalmente nos vestibulares, os seguimentos são representados por suas respectivas medidas, por exemplo, pela figura anterior: x, y, x’ e y’.
Assim sendo, o Teorema de Tales fica da seguinte forma:
ou
ou
Exercícios Resolvidos
01 – (CPS) Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura.
Considere que
– os pontos A, B, C e D estão alinhados;
– os pontos H, G, F e E estão alinhados;
– os segmentos AH, BG, CF e DE são, dois a dois, paralelos entre si;
– AB = 500 m, BC = 600 m, CD = 700 m e HE = 1980 m
Nessas condições, a medida do segmento GF é, em metros,
a) 665 b) 660 c) 655 d) 650 e) 645
Resolução:
Vamos posicionar os dados no problema na figura, com segue:
Utilizando o Teorema de Tales, temos:
02 – (CFTMG) A figura a seguir é um esquema representativo de um eclipse lunar em que a Lua, a Terra e o Sol estão representados pelas circunferências de centros C1, C2 e C3, respectivamente, que se encontram alinhados. Considera-se que a distância entre os centros da Terra e do Sol é 400 vezes maior que a distância entre os centros da Terra e da Lua e que a distância do ponto T na superfície da Terra ao ponto S na superfície do Sol, como representados na figura, é de 150 milhões de quilômetros.
Sabendo-se que os segmentos de reta C1L, C2T e C3S são paralelos, a distância do ponto L, representado na superfície da Lua, ao ponto T, na superfície da Terra, é igual a
a) 375.000 km
b) 400.000 km
c) 37.500.000 km
d) 40.000.000 km
Resolução:
Vamos posicionar os dados no problema na figura, com segue:
Aplicando o Teorema de Tales na figura, temos: