Aula 10 – Função do 2º Grau ou Função Quadrática
Já estudamos a Função do 1º Grau ou Função Afim, agora chegou o momento de estudarmos a Função do 2º Grau.
Assim como a função do 1º grau, a do 2º grau consiste em um polinômio e, como vimos em aulas anteriores, o grau de um polinômio é igual ao do monômio com maior grau.
Assim sendo, a função do 2º grau sempre terá um monômio do 2º grau, que no caso geral é representada pela variável x2.
Seguindo os conceitos de Polinômios, a Função do 2º grau ou Função Quadrática é toda função cuja expressão geral é:
f(x) = a.x2 + b.x + c
Onde x é a variável e a, b e c são constantes, com a ≠ 0.
Formalmente, temos que:
“Sendo três números reais, a, b e c, com a ≠ 0, denomina-se Função do 2º, ou Função Quadrática, a função f de ℝ em ℝ definida pela expressão f(x) = ax2 + bx + c.”
Representação:
f: ℝ → ℝ
x ↦ f(x) = ax2 + bx + c
Gráfico da Função do 2º Grau
No plano cartesiano os valores de y são dados por f(x) que é uma representação matemática para dizer que estes valores estão em função daqueles assumidos pela variável x.
Vamos ilustrar os conceitos definidos acima através de um exemplo prático.
Sejam os valores de a, b e c dados por: a = 1, b = – 1 e c = – 4.
A função f(x) fica definida por: y = f(x) = x2 – x – 4.
Para construirmos o gráfico de f(x), vamos definir alguns valores para x, por exemplo, considerar que estes variem de – 3 até 3.
Calculando os valores de y, temos:
x = –3 ⇨ y = (–3)2 – (–3) – 4 = 9 + 3 – 4 = 8
x = –2 ⇨ y = (–2)2 – (–2) – 4 = 4 + 2 – 4 = 2
x = –1 ⇨ y = (–1)2 – (–1) – 4 = 1 + 1 – 4 = – 2
e assim por diante, como mostra a tabela abaixo:
Plotando os pontos da tabela acima no plano cartesiano e ligando os mesmos, observamos que o resultado é uma Parábola.
Foi visto apenas um exemplo, mas, ele faz parte da regra geral:
“A Função do 2º grau, no plano cartesiano, tem como gráfico uma parábola.”
Na sequência, vamos interpretar o significado de cada constante de uma Função do 2º Grau.
Efeito das Constantes da função do 2º Grau
1 – Constante c
Observando a expressão f(x) = ax2 + bx + c, vemos que quando o valor de x for igual a zero (x = 0), teremos que y será igual a c (y = c) nos dando o par ordenado P ( 0 ; c ).
Quando plotamos o ponto P no gráfico cartesiano, observamos que este sempre pertencerá ao eixo y (pois, temos que x = 0), ou seja:
“A constante c define o valor em que o gráfico intercepta (corta) o eixo y”.
2 – Constante b
Vamos analisar através de um exemplo, o que acontece com a parábola quando variamos o valor da constante b.
Considerando a função: y1 = x2 + 10 onde b = 0, vamos variar o valor de b para observar o que acontece com os respectivos gráficos.
Acrescentando e subtraindo duas unidades no valor de b, ou seja, b = – 2 e b = 2, as respectivas funções ficam:
y2 = x2 + 2x + 10 e y3 = x2 – 2x + 10
Na tabela abaixo estão sendo definidos os valores de x variando de – 6 até 6 e os respectivos valores para y. Traçando os gráficos no plano cartesiano temos:
Obs.: como foi observado no item 1, as três funções mantêm o valor de c (c = 10) e como mostra o gráfico, cortam o eixo y no mesmo ponto (y = 10).
Analisando a variação do valor da constante b, podemos observar no gráfico que a mesma produz um deslocamento da parábola na direção horizontal, ou seja, b = 0 (azul) centrado no eixo y, b = – 2 (vermelho) deslocou para a esquerda, b = 2 (verde) deslocou para a direita.
3 – Constante a
Novamente vamos analisar através de um exemplo, o que acontece com a parábola quando variamos o valor da constante a.
Obs.: para ficar mais claro, vamos considerar b = 0 e c = 0, ou seja, a parábola vai ficar centrada no eixo y com o vértice na origem (0 ; 0).
Consideremos a função: y1 = 2x2 onde a = 2.
Variando o valor de a podemos observar o que acontece com os respectivos gráficos.
Aumentando o valor de a e invertendo o seu sinal, por exemplo: a = 3, a = – 2 e a = – 3, as respectivas funções ficam: y2 = 3x2 y3 = – 2x2 y4 = – 3x2
Na tabela abaixo estão sendo definidos os valores de x variando de – 6 até 6 e os respectivos valores para y. Traçando os gráficos no plano cartesiano temos:
Tomando a parábola de y1 (azul) como referência observamos que:
- quando aumentamos o valor de a em y2 (vermelho) a parábola fica mais fechada, ou seja, a variação do valor absoluto de a faz com que os valores de y aumentem ou diminuam mais rapidamente, produzindo um efeito de “alargamento” ou “estreitamento” da parábola.
- quando invertemos o sinal de a, invertemos a concavidade da parábola, ou seja, no nosso exemplo, para a = 2 ou a = 3 (a > 0, positivo) a concavidade é para cima e para a = – 2 ou a = – 3 (a < 0, negativo) a concavidade é para baixo.
Raízes, Vértice e Imagem da Função do 2º Grau
Raízes
Vamos fazer uma análise do que acontece com a parábola quando o valor de y for nulo (y = 0).
Retomando a função do 2º grau f(x) = y = ax2 + bx + c e igualando y a zero, temos:
ax2 + bx + c = 0 (que é a equação do 2º grau)
Para resolver a equação, de forma geral, é utilizada a fórmula de Bhaskara que está definida a seguir:
Das expressões acima, observamos que: Δ = b2 – 4ac
Resolvendo a equação, chega-se a duas respostas, x1 e x2 que são denominadas raízes da equação.
Obs.: dependendo do valor de Δ, nem sempre a equação tem duas raízes distintas, podendo ainda não ter raízes reais.
Considerando que a equação tenha duas raízes reais e, lembrando que nestes pontos y = 0, podemos defini-los como segue: P1 (x1 ; 0) e P2 (x2 ; 0).
Observando os pontos dados acima, verificamos que estes pertencem ao eixo x, ou seja, as raízes da equação definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo x.
Resumindo:
- Δ > 0, duas raízes distintas x1 e x2: a parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos
- Δ = 0, duas raízes coincidentes x1 = x2: a parábola intercepta o eixo x em um único ponto
- Δ < 0, não existindo raízes reais: a parábola não intercepta o eixo x
Segue abaixo uma representação gráfica do resumo para melhor entendimento.
- Parábola azul: duas raízes distintas
- Parábola vermelha: duas raízes coincidentes
- Parábola verde: não tem raízes reais
Nota: toda função do 2º com duas raízes reais, distintas ou não, podem ser escritas da forma:
f(x) = a.(x – x1).(x – x2)
Vértice
Finalmente vamos falar sobre o vértice da parábola, que podemos denominar por V (xv ; yv).
- Para a > 0, a concavidade é para cima e, consequentemente, dizemos que o vértice é um ponto de mínimo, ou seja, independentemente do valor de x, não existe nenhum valor para y que seja menor do que yv.
- Para a < 0, a concavidade é para baixo e, consequentemente, dizemos que o vértice é um ponto de máximo, ou seja, independentemente do valor de x, não existe nenhum valor para y que seja maior do que yv.
Na prática podemos determinar xv simplesmente somando as duas raízes e dividindo por dois, ou seja, calcular o ponto médio entre as mesmas.
Em seguida, substituindo o valor encontrado acima na equação da parábola, determinamos yv.
Matematicamente o ponto de vértice é dado por:
Assim sendo, o ponto de vértice é dado por:
Nota: verifica-se na prática que a parábola é simétrica em relação ao eixo que passa pelo seu vértice e é paralelo ao eixo y.
Conjunto Imagem
O vértice da parábola, como visto, define um ponto de máximo ou de mínimo em relação ao eixo das ordenadas (eixo y).
Como consequência, o ponto de vértice define um dos extremos do conjunto imagem da função do 2º grau. De acordo com o valor da constante a, podemos ter dois casos, como segue:
Concavidade para cima D(f) = ℝ |
 |
Concavidade para baixo D(f) = ℝ |
 |
Quadro Resumo do Gráfico da Função do 2º Grau
Nota: conhecendo os pontos característicos de uma dada função do 2º grau, é possível traçar o esboço do gráfico desta função.
Exercícios Resolvidos
01 – (UEL) Seja a função f, de ℝ em ℝ, dada pelo gráfico seguinte. O conjunto imagem de f é:
a) ℝ b) {y ∈ ℝ/ 0 ≤ y ≤ 1,5} c) {y ∈ ℝ/ 0 ≤ y ≤ 1,8} d) {y ∈ ℝ/ y ≤ 2} e) {y ∈ ℝ/ y ≤ 1,8}
Resolução:
Pelos dados do gráfico, tem mais de uma forma de resolver o problema. Poderíamos utilizar os valores das duas raízes, por exemplo, mas, para efeito de exemplo, vamos utilizar uma raiz e o ponto de vértice.
Pelo gráfico, vemos que a parábola intercepta o eixo y no ponto 1,5, portanto: c = 1,5.
Assim sendo, a função fica: y = ax2 + bx + 1,5
Utilizando a raiz x = – 1 e substituindo na função, temos que:
y = ax2 + bx + 1,5 = 0 ⇨ a.(–1)2 + b.(–1) + 1,5 = 0 ⇨ a – b = – 1,5 (eq. 1)
Utilizando o ponto de vértice Vx = 1, temos que:
Vx = – b/2a ⇨ 1 = – b/2a ⇨ b = – 2a (eq. 2)
Substituindo a (eq. 2) na (eq. 1), temos que:
a – b = – 1,5 ⇨ a – (–2a) = – 1,5 ⇨ 3a = – 1,5 ⇨ a = – 0,5 (eq. 3)
Substituindo a (eq. 3) na (eq. 2), temos que:
b = – 2a ⇨ b = – 2.(–0,5) ⇨ b = 1
Não está pedindo, mas, para efeito de exercício, podemos escrever a função que gera o gráfico:
y = ax2 + bx + 1,5 ⇨ y = – 0,5x2 + x + 1,5
Cálculo de Δ:
Δ = b2 – 4ac = 12 – 4.(–0,5).1,5 = 1 + 3 ⇨ Δ = 4
Finalmente, podemos calcular o ponto Vy que define a extremidade do conjunto imagem:
Vy = – Δ/4a = – 4/4.(–0,5) ⇨ Vy = 2
Observando o gráfico e confirmando com o sinal a constante a (a < 0), a concavidade da parábola é para baixo e, portanto, o vértice é um ponto de máximo, sendo o conjunto imagem:
{y ∈ ℝ/ y ≤ 2} (alternativa d)
02 – (UNICAMP) Sejam a e b números reais positivos. Considere a função quadrática f(x) = x.(ax + b), definida para todo número real x. No plano cartesiano, qual figura corresponde ao gráfico de y = f(x)?
a) 
b)
c) 
d) 
Resolução:
Do enunciado a > 0, implicando que a concavidade da parábola seja para cima, sendo eliminadas as alternativas c e d.
Para o cálculo das raízes da equação: x.(ax + b) = 0, temos que: x = 0 ou ax + b = 0
Da segunda raiz, temos que:
ax + b = 0 ⇨ x = – b/a
Novamente, do enunciado, a e b são números positivos, implicando que a fração – b/a tenha como resultado um número negativo. (alternativa b)
03 – (CESGRANRIO)
Considere o gráfico acima, que representa a função definida por y = 2x2 – 5x + c. As coordenadas do vértice da parábola são:
a) b)
c)
d)
e)
Resolução:
Pelo gráfico, vemos que a parábola intercepta o eixo y no ponto 2, portanto: c = 2.
Assim sendo, a função fica: y = 2x2 – 5x + 2
Cálculo de Δ:
Δ = b2 – 4ac = (–5)2 – 4×2×2 = 25 – 16 ⇨ Δ = 9
Cálculo de Vx:
Vx = – b/2a = – (–5)/2×2 ⇨ Vx = 5/4
Cálculo de Vy:
Vy = – Δ/4a = – 9/4×2 ⇨ Vy = – 9/8
Resposta: alternativa a
04 – (ENEM) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?
a) 16/3 b) 31/5 c) 25/4 d) 25/3 e) 75/2
Resolução:
Considerando que o eixo das ordenadas (eixo y) passe pelo vértice da parábola, temos uma simetria em relação este (b = 0), sendo interceptado no ponto H (c = H), ficando: f(x) = a.x2 + H.
Tomando dois pontos da parábola: (5, 0) e (4, 3) e substituindo na expressão geral, temos que:
Somando as duas equações, temos que: