Módulo de um Número Real

Antes de entramos no estudo das Funções Modulares, vamos entender o que significa “Módulo” em matemática.

Aproveitando a oportunidade, você sabe diferenciar o “Oposto de um número” do “Inverso de um número”?

Muita gente confunde os dois conceitos. Vamos ver através de alguns exemplos qual a diferença.

• O inverso de 5 é igual a 1/5 enquanto o oposto de 5 é – 5
• O inverso de – 2 é igual a – 1/2 enquanto o oposto de – 2 é 2
• O inverso de – 2/3 é igual a – 3/2 enquanto o oposto de – 2/3 é 2/3
• O inverso de k é igual a 1/k enquanto o oposto de k é – k

Acredito que já deu para entender a diferença.

Caso particular:

• O inverso de 0 não existe enquanto o oposto de 0 é 0

Feitas as considerações, podemos definir Módulo de um Número.

“Define-se como Módulo ou Valor Absoluto de um Número Real, o maior valor possível entre esse número e seu oposto.”

Matematicamente, temos que:

• |k| = máx. {k e – k} (módulo de k)

Na prática, dizemos que o Módulo de um Número Real é igual ao seu Valor Absoluto, ou seja, “o Número sem os sinais de + ou –“.

Exemplos:

• |+7| = 7
• |–8| = 8
• |–3/5| = 3/5

Quando trabalhamos com variáveis, existe outra forma de representar o Módulo, através de uma dupla de sentenças matemáticas.

Exemplos:

Entendidos os primeiros conceitos, podemos partir para o estudo da Função Modular.

Função Modular

O conceito fundamental é muito simples:

Denomina-se Função Modular a função f de ℝ em ℝ definida por:

Gráfico da Função Modular

Vamos traçar o gráfico da função f(x) definida acima utilizando como base os valores inteiros de x de – 3 até 3.

x = – 3  ⇨  f(x) = – x  ⇨  f(–3) = – (–3) = 3

x = – 2  ⇨  f(x) = – x  ⇨  f(–2) = – (–2) = 2

x = – 1  ⇨  f(x) = – x  ⇨  f(–1) = – (–1) = 1

x = 0  ⇨  f(x) = x  ⇨  f(0) = 0

x = 1  ⇨  f(x) = x  ⇨  f(1) = 1

x = 2  ⇨  f(x) = x  ⇨  f(2) = 2

x = 3  ⇨  f(x) = x  ⇨  f(3) = 3

Plotando os pontos no plano cartesiano, temos que:

Observando o gráfico, podemos concluir que:

• A parte do gráfico com imagem positiva ou nula (x ≥ 0), não sofre alteração
• A parte do gráfico cuja imagem seria negativa (x < 0), com a aplicação do módulo, torna-se positiva
• O gráfico tem um eixo de simetria vertical, no caso, o próprio eixo y

Nota: apesar de definirmos a função modular como f(x) = |x|, podemos aplicar o módulo em qualquer função.

Vamos ver dois exemplos nos exercícios resolvidos.

• f(x) = x² – 4
• Concavidade: a = 1 > 0 (para cima)
• Raízes: x² – 4 = 0  ⇨  x² = 4  ⇨ x = ± 2
• Corta o eixo y: c = – 4

• f(x) = – x² + 4
• Concavidade: a = – 1 < 0 (para baixo)
• Raízes: – x² + 4 = 0  ⇨  x² = 4  ⇨ x = ± 2
• Corta o eixo y: c = + 4

Juntando os dois gráficos, o gráfico da função f(x), fica:

• f(x) = – x – 1
• Inclinação: a = – 1 < 0 (decrescente)
• Raiz: – x – 1 = 0  ⇨  x = – 1
• Corta o eixo y: b = – 1