F1_DG_Aula 04 – Movimento Retilíneo Uniforme (MRU): Função Horária

O MRU estuda uma classe de movimentos cujas trajetórias são retas e tem como característica a velocidade constante para cada movimento estudado.

Curiosidade: observando a foto do astronauta acima, vemos que o mesmo está preso a sua Nave através de um cabo. Você sabia que se o cabo rompesse o astronauta sairia vagando pelo Universo em linha reta e com velocidade constante até que fosse atraído por algum Corpo Celeste? No MRU, o termo “Uniforme” representa que em intervalos de tempos iguais o móvel percorre distâncias iguais.

Exemplo: se durante um determinado trajeto de uma viajem o motorista mantiver o carro que dirige a 80 km/h, por intuição, sabemos que a cada hora de viajem será percorrida uma distância de 80 km, ou seja, em intervalos de tempos iguais (1 h), o carro percorrerá distâncias iguais (80 km).

Lembrete: estamos estudando cinemática e conforme definido na Aula 01, quando estudamos o movimento de qualquer corpo, independentemente se seu tamanho ou forma, o mesmo será sempre considerado como uma partícula.

Quando mantemos a velocidade constante, ao calcularmos a velocidade média iremos obter o próprio valor da velocidade instantânea. Independentemente de cálculos matemáticos, utilizando o exemplo anterior, parece claro que em qualquer parte do trajeto quando o motorista olhar para o velocímetro, o mesmo sempre estará marcando “100 km/h”.

Agora que já fizemos algumas considerações sobre o MRU, podemos partir para uma expressão matemática que relacione a velocidade mantida durante um determinado percurso, o tempo gasto e a distância percorrida.

Partindo da definição de velocidade média e sabendo que ela representa a própria velocidade instantânea, temos que:

$\dpi{100} \mathbf{v_{m}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=v\Rightarrow \Delta s=v.\Delta t\Rightarrow s-s_{0}=v.(t-t_{0})}$

É comum em Física considerar o tempo inicial igual a zero, ou seja, to = 0. Com esta consideração, temos:

$\dpi{100} \mathbf{s=s_{0}+v.t}$

A expressão acima calcula a posição de uma partícula em função do tempo, sendo denominada “função horária espacial para o MRU” ou simplesmente “equação horária do movimento”. Ela nos fornece a posição da partícula em cada instante, partindo do princípio que sejam conhecidas a posição inicial (ponto de partida) e a velocidade da mesma.

Quando utilizamos a equação horária estamos normalmente trabalhando no SI (Sistema Internacional de Medidas). Portanto, a posição será dada em metros (m); o tempo em segundos (s) e a velocidade em metros por segundo (m/s).

Cuidado: é comum as pessoas confundirem a posição inicial com a origem do sistema de referência.

A posição inicial (s0) é a posição de partida da partícula, podendo até ser igual a zero, enquanto que na origem do sistema de referência a posição da partícula é sempre igual a zero (s = 0). É lógico que as duas posições coincidem quando a partícula parte da origem do sistema de referência.

Observação: no decorrer do texto foi utilizada a expressão “distância percorrida” e na dedução da equação horária aparece “o deslocamento (Δs)”.

Acontece que conforme foi definido no próprio texto, o MRU estuda trajetórias retilíneas com velocidade constante em cada movimento, não havendo inversão da velocidade, ou seja, não tem “ida e volta”. Assim sendo, conforme definido na Aula 01, a distância percorrida coincide com o próprio deslocamento da partícula.

Exercícios Resolvidos

01 – (FisMática) Considere que um avião de passageiros viaje com uma velocidade de cruzeiro de 900 km/h durante 5 h. Determine:

a) sua velocidade média em m/s;

b) a equação horária do movimento.

Resolução:

a) a velocidade média é a própria velocidade de cruzeiro: $\dpi{100} \inline \mathbf{v_{m}=900\, \, km/h}$

Para transformar em m/s utilizamos o fator 3,6 (ver Aula 02): $\dpi{100} \inline \mathbf{v_{m}=900/3,6=250\, \, m/s}$

(para quem não se lembra do fator de conversão e tiver “preguiça” de ver a Aula 02, lembramos que o fator “3,6” é deduzido do fato que 1 h tem 3.600 s e 1 km tem 1.000 m);

b) substituindo o valor da velocidade média em m/s na expressão da equação horária e considerando a posição inicial do avião como sendo a origem do sistema de referência ( $\inline \large s_{0}=0$ ), temos:

$\dpi{100} \mathbf{s=s_{0}+v.t\Rightarrow s=0+250.t\Rightarrow {\color{Red} s=250.t}}$ (equação horária)

02 – (FisMática) Uma determinada partícula se movimenta segundo a expressão: $\dpi{100} \inline \mathbf{s=20-5.t}\, \, \, \, \, \mathbf{(SI).}$

Determine:

a) a posição inicial e velocidade da partícula;

b) o instante em que a partícula passa pela origem do sistema de referência;

c) sua posição no instante 3 s.

Resolução:

a) comparando a expressão dada com a geral: s = s₀ + v.t, deduzimos que:

– posição inicial: $\inline \dpi{100} \mathbf{s_{0}=20\, \, m}$

– velocidade: $\dpi{100} \inline \mathbf{v=-5\, \, m/s}$

b) lembrando que na origem do sistema a posição é nula (s = 0), podemos calcular o instante substituindo esse valor na expressão dada no enunciado:

$\dpi{100} \mathbf{s=20-5.t \Rightarrow 0=20-5.t \Rightarrow 5.t=20-0}$

$\dpi{100} \mathbf{ t=\frac{20}{5} \Rightarrow t=4\, s}$

Portanto, a partícula passa pela origem do sistema no instante 4 s.

c) substituindo na expressão dada o valor de t = 3 s, temos:

$\dpi{100} \mathbf{s=20-5.t \Rightarrow s=20-5x3 }$

$\dpi{100} \mathbf{ s=20-15 \Rightarrow s=5\, m}$

Portanto, no instante 3 s a partícula estará na posição 5 m.

Exercícios Propostos

01 – (UNITAU-SP) Um carro mantém uma velocidade escalar constante de 72,0 km/h. Em uma hora e dez minutos ele percorre, em quilômetros, a distância de:

a) 79,2 b) 80,0 c) 82,4 d) 84,0 e) 90,0

02 – (PUCC – SP) Andrômeda é uma galáxia distante 2,3 x 10⁶ anos-luz da Via Láctea, a nossa galáxia. A luz proveniente de Andrômeda, viajando à velocidade de 3,0 x 10⁵ km/s, percorre a distância aproximada até a Terra, em quilômetros, igual a

a) 4 x 10¹⁵

b) 6 x 10¹⁷

c) 2 x 10¹⁹

d) 7 x 10²¹

e) 9 x 10²³

03 – (FATEC – SP) A tabela fornece, em vários instantes, a posição “s” de um automóvel em relação ao “km” zero da estrada em que se movimenta:

A função horária que nos fornece a posição do automóvel, com as unidades apresentadas, é:

t (h)	0,0	2,0	4,0	6,0	8,0	10,0
s (km)	200	170	140	110	80	50

a) s = 200 + 30 t

b) s = 200 – 30 t

c) s = 200 + 15 t

d) s = 200 – 15 t

e) s = 200 – 15 t²

04 – (FisMática) Preencha a tabela abaixo:

Obs.: As unidades estão no SI, ou seja: posição em metros e velocidade em m/s.

	Equação Horária	S₀	V₀	Movimento
1	S = 30 – 8.t
2	S = – 34 + 5.t
3	S = – 12.t
4	S = – 27 – 20.t
5	S = 48 + 30.t

05 – (UEPG – PR) Um passageiro anotou, a cada minuto, a velocidade indicada pelo velocímetro do táxi em que viajava; o resultado foi 12 km/h, 18 km/h, 24 km/h e 30 km/h. Pode-se afirmar que:

a) o movimento do carro é uniforme;

b) a aceleração média do carro é de 6 km/h, por minuto;

c) o movimento do carro é retardado;

d) a aceleração do carro é 6 km/h²;

e) a aceleração do carro é 0,1 km/h, por segundo.

06 – (UNITAU – SP) Um automóvel percorre uma estrada com função horária s = – 40 + 80.t, onde “s” é dado em “km” e “t” em horas. O automóvel passa pelo km zero após:

a) 1,0 h b) 1,5 h c) 0,5 h d) 2,0 h e) 2,5 h

07 – (FisMática) Uma partícula passa pela posição –40 m no instante em que é zerado um cronometro. Decorridos 12 s, observa-se que a partícula passa pela posição 56 m. Considerando que a partícula esteja se movimentando com velocidade constante, determine:

a) sua velocidade em m/s;

b) a equação horária do movimento;

c) sua posição no instante 20 s;

d) o instante em que passa pela posição 80 m.

08 – (FisMática) Uma determinada partícula se movimenta segundo a expressão: s = 20 – 5.t (SI). Determine:

a) a posição inicial e velocidade;

b) o instante em que passa pela origem do sistema de referência;

c) sua posição no instante 3 s.

09 – (MACK – SP) Uma partícula descreve um movimento uniforme. A função horária dos espaços, com unidades do Sistema Internacional de Unidades é: s = -2,0 + 5,0.t. Nesse caso, podemos afirmar que a velocidade escalar da partícula é:

a) -2,0 m/s e o movimento é retrógrado.

b) -2,0 m/s e o movimento é progressivo.

c) 5,0 m/s e o movimento é progressivo

d) 5,0 m/s e o movimento é retrógrado

e) -2,5 m/s e o movimento é retrógrado

Gabarito

Ex. 01 – alternativa d.

Ex. 02 – alternativa c.

Ex. 03 – alternativa d.

Ex. 04

1) s₀ = 30 m; v = – 8 m/s; Retrógrado

2) s₀ = -34 m; v = 5 m/s; Progressivo

3) s₀ = 0 m; v = – 12 m/s; Retrógrado

4) s₀ = -27 m; v = – 20 m/s; Retrógrado

5) s₀ = 48 m; v = 30 m/s; Progressivo

Ex. 05 – alternativa a.

Ex. 06 – alternativa c.

Ex. 07

a) v = 8 m/s;

b) s = -40 + 8.t;

c) s = 120 m;

d) t = 15 s.

Ex. 08

a) s₀= 10 m e v = -5 m/s;

b) t = 4 s;

c) s = 5 m.

Ex. 09 – alternativa c.

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