União

Quando realizamos a União ( ∪ ) entre dois conjuntos distintos, o resultado obtido será um terceiro conjunto, ao qual pertencem os elementos comuns e não comuns aos dois conjuntos iniciais.

Simbolicamente, para visualizarmos a definição de Conjunto União, podemos representar da seguinte forma:

Exemplos

1 – Dados os conjuntos: A = { 2; 4; 5; 7; 9 } e B = { 3; 4; 6; 7; 10 }, determine o conjunto C que representa a União entre os conjuntos A e B.

Resolução:

C = A ∪ B = { 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 9; 10 }

2 – Dados os conjuntos: D = { 0; 3; 5; 9; 11 } e E = { 1; 3; 9; 10 }, determine o conjunto F que representa a União entre os conjuntos D e E.

Resolução:

F = D ∪ E = { 0; 1 ; 3; 5; 9; 10; 11 }

Quando trabalhamos com Intervalos Numéricos, a forma mais fácil para determinarmos o Conjunto União, é utilizar a representação dos intervalos sobre a reta real. Mais à frente serão dados dois exemplos utilizando intervalos numéricos.

Intersecção

Quando realizamos a Intersecção ( ∩ ) entre dois conjuntos distintos, o resultado obtido será um terceiro conjunto, ao qual pertencem apenas os elementos comuns aos dois conjuntos iniciais.

Simbolicamente, para visualizarmos a definição de Conjunto Intersecção, podemos representar da seguinte forma:

Exemplos

Para comparação entre União e Intersecção, vamos utilizar os mesmos conjuntos dos exercícios sobre União.

1 – Dados os conjuntos: A = { 2; 4; 5; 7; 9 } e B = { 3; 4; 6; 7; 10 }, determine:

1. o conjunto C que representa a União entre os conjuntos A e B;
2. o conjunto D que representa a Intersecção entre os conjuntos A e B.

Resolução:

C = A ∪ B = { 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 9; 10 }

D = A ∩ B = { 4; 7 }

2 – Dados os conjuntos: E = { 0; 3; 5; 9; 11 } e F = { 1; 3; 9; 10 }, determine:

1. o conjunto G que representa a União entre os conjuntos E e F;
2. o conjunto H que representa a Intersecção entre os conjuntos E e F.

Resolução:

G = E ∪ F = { 0; 1 ; 3; 5; 9; 10; 11 }

H = E ∩ F = { 3; 9 }

Como vimos para o Conjunto União, quando trabalhamos com Intervalos Numéricos, a forma mais fácil para determinarmos o Conjunto Intersecção, é utilizar a representação dos intervalos sobre a reta real.

Vamos ver dois exemplos envolvendo União e Intersecção de intervalos numéricos.

1 – Determine os conjuntos U (União) e I (intersecção) entre os conjuntos A e B definidos a seguir:

  e 

Resolução:

2 – Determine os conjuntos U (União) e I (intersecção) entre os conjuntos C e D definidos a seguir:

  e 

Resolução:

Complementar de um Conjunto

Diferença entre dois Conjuntos

Dados dois conjuntos, o subconjunto dos elementos de um deles que não pertence ao outro conjunto é denominado de Diferença entre os Conjuntos.

Por definição, temos que:

“Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.”

Simbolicamente, temos que:

Complementar Absoluto

Sejam dois conjuntos A e U onde U representa o Conjunto Universo.

Denomina-se Conjunto Complementar de A ( A^C ) o conjunto de todos os elementos de U que não pertencem ao conjunto A.

Obs.: A^C é denominado de Complementar Absoluto

Por definição, temos que:

Representações: 

Nota: 

Vamos ver como fica no Diagrama de Venn.

Complementar Relativo entre dois Conjuntos

Geralmente estamos interessados em obter o complementar de um determinado conjunto em relação a outro conjunto, que não seja o conjunto universo.

Por exemplo, dados dois conjuntos A e B, onde , o conjunto complementar de A em relação a B é definido por:

No Diagrama de Venn, temos que:

Obs.: 

Vamos ver um exemplo para clarear as ideias.

Dados os conjuntos:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

A = {3, 7, 10}

B = {2, 3, 5, 7, 8, 10}

temos que:

• Complementar absoluto de A:  A^C = U – A = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12}
• Complementar absoluto de B:  B^C = U – B = {0, 1, 4, 6, 9, 11, 12}
• Complementar de A em relação a B:  = B – A = {2, 5, 8}
• Complementar de B em relação a A:  = A – B = {  }