M1_Aula 03 – Relações
Antes de entrarmos diretamente no conceito de Relação, vamos definir Par Ordenado e Produto Cartesiano
Par Ordenado
O conceito de Par Ordenado é primitivo, ou seja, não requer explicação ou definição.
Como o próprio nome diz, o Par Ordenado representa um Par de Símbolos Matemáticos, que podem ou não ser numéricos.
De uma forma genérica, podemos representar um par ordenado por (a, b), por exemplo, sendo que a ordem de posicionamento dos dois elementos importa, ou seja:
O nosso interesse nos pares ordenados consiste em definir os sistemas de coordenadas, como veremos a seguir.
Produto Cartesiano
“Dados dois conjuntos A e B, entende-se por Produto Cartesiano de A por B (AxB), ao conjunto formado por todos os pares ordenados possíveis, onde o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo ao conjunto B.”
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {2, 4} e B = { 1, 3, 7}, o produto cartesiano de A por B é dado por:
AxB = {(2, 1); (2, 3); (2, 7); (4, 1); (4, 3); (4, 7)}
Definição Formal:
“Definidos dois conjuntos A e B, não vazios, o Produto Cartesiano de A por B é o conjunto de todos os Pares Ordenados obtidos sendo o primeiro elemento pertencente ao conjunto A e o segundo ao conjunto B.”
Representação matemática: AxB (A cartesiano B)
Plano Cartesiano
O Plano Cartesiano consiste em um sistema de coordenadas composto por dois eixos perpendiculares entre si.
O nome Plano Cartesiano se deve em homenagem ao filósofo René Descartes (1596 – 1650), que pela primeira vez utilizou o sistema para definir a localização de pontos no espaço.
Em Matemática, a forma mais conhecida do Plano Cartesiano, consiste em utilizar dois eixos, um horizontal (eixo x) e outro vertical (eixo y), tendo em comum o ponto zero, que é a origem do sistema, como mostra a figura a seguir:
Obs.: Os números em romano I, II, III e IV representam os quadrantes do Plano Cartesiano.
Nomenclatura utilizada na matemática:
- (x, y) => coordenadas
- x => abcissa
- y => ordenada
Nota: propriedades dos quadrantes:
- Quadrante I: x > 0 e y > 0
- Quadrante II: x > 0 e y < 0
- Quadrante III: x < 0 e y < 0
- Quadrante IV: x < 0 e y > 0
Representação Gráfica
Considerando A e B, subconjuntos do conjunto dos números reais , a cada par ordenado (x, y) de números reais, pertencentes a AxB, associamos um ponto do Plano Cartesiano com abscissa x e ordenada y.
Obs.: o par ordenado (x, y) representa as coordenadas de um ponto qualquer do plano cartesiano.
Assim sendo, representar graficamente o produto cartesiano AxB, nada mais é do que representar num plano todos os pontos associados aos elementos de AxB.
Exemplo:
Dados A = {2, 5} e B = {1, 4}, temos que AxB = {(2, 1); (2, 4); (5, 1); (5, 4)}, sendo sua representação gráfica dada pela figura a seguir:
Relações
Sejam dois conjuntos A e B e o conjunto formado por AxB.
Podemos obter vários subconjuntos de AxB, de forma aleatória ou utilizando uma determinada Relação entre seus elementos.
Definição:
“Dados dois conjuntos A e B, definimos o conjunto R (relação), subconjunto de AxB, cujos elementos obedecem a uma regra que relaciona os elementos de A com os de B.”
Exemplo:
Sejam os conjuntos A = {2, 3, 4, 5} e B = {0, 1, 3}, sendo o produto cartesiano dado por:
AxB = {(2, 0); (2, 1); (2, 3); (3, 0); (3, 1); (3, 3); (4, 0); (4, 1); (4, 3); (5, 0); (5, 1); (5, 3)}
Determine o conjunto R, de pares ordenados (x, y), sendo definida a Relação: y = x – 2.
Resolução:
Para cada elemento do conjunto A (x), devemos subtrair duas unidades para obter cada elemento (y) pertencente ao conjunto B.
R = {(2, 0); (3, 1); (5, 3)}
Obs.: notem que nem todos elementos de AxB satisfazem a relação dada.
Diagrama de Flechas
Num Diagrama de Flechas, os conjuntos A e B são representados por duas “figuras geométricas” que contém os elementos de cada conjunto.
Dada uma relação R, são desenhadas “flechas” que partem de A e chegam em B, representando a regra da relação.
Exemplo:
Sendo A = {0, 2, 4} e B = {0, 1, 3, 5}, represente a relação .
Domínio e Imagem
Para entendermos melhor os conceitos de Domínio e Imagem, vamos observar o exemplo a seguir:
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 4, 6, 8}.
Represente a relação R por um diagrama de flechas, sendo: .
Solução:
A cada elemento (a), pertencente ao conjunto A, vamos somar duas unidades para obter o elemento (b), pertencente ao conjunto B.
R = {(0, 2); (2, 4); (4, 6)}
Pelo diagrama de flechas, temos:
Podemos notar que os elementos que entraram na relação formaram dois subconjuntos, um de A e outro de B:
- O subconjunto contido em A, é denominado de Domínio da Relação
- O subconjunto contido em B, é denominado de Imagem da Relação
Na forma de conjuntos, temos que:
- D(R) = {0, 2, 4}
- Im(R) = {2, 4, 6}
Exercícios Resolvidos
01 – (UFRN) O jogo da velha tradicional consiste em um tabuleiro quadrado dividido em 9 partes, no qual dois jogadores, alternadamente, vão colocando peças (uma a cada jogada). Ganha o jogo aquele que alinhar, na horizontal, na vertical ou na diagonal, três de suas peças.
Uma versão chamada JOGO DA VELHA DE DESCARTES, em homenagem ao criador da geometria analítica, René Descartes, consiste na construção de um subconjunto do plano cartesiano, no qual cada jogador, alternadamente, anota as coordenadas de um ponto do plano. Ganha o jogo aquele que primeiro alinhar três de seus pontos. A sequência abaixo é o registro da sequência das jogadas de uma partida entre dois jogadores iniciantes, em que um anotava suas jogadas com a cor preta e o outro, com a cor cinza. Eles desistiram da partida sem perceber que um deles havia ganhado.
((1,1), (2,3), (2,2), (3,3), (4,3), (1,3), (2,1), (3,1), (3,2), (4,2))
Com base nessas informações, é correto afirmar que o jogador que ganhou a partida foi o que anotava sua jogada com a cor
a) cinza, em sua terceira jogada.
b) preta, em sua terceira jogada.
c) cinza, em sua quarta jogada.
d) preta, em sua quarta jogada.
Resposta:
Considere a figura:
De acordo com a sequência de jogadas apresentada, podemos concluir que o jogador que ganhou a partida foi o que anotava sua jogada com a cor cinza, em sua terceira jogada, ou seja, na jogada (1,3). (alternativa a)
02 – (UFRN) Considerando K = {1, 2, 3, 4}, marque a opção cuja figura representa o produto cartesiano K × K.
Resposta:
O conjunto dos pares ordenados do produto cartesiano K × K é:
((1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4))
Observando as figuras, vemos a resposta correta é a alternativa a.