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M1_DG_Aula 01 – Conjuntos Numéricos

Introdução

Quando organizamos objetos, há uma tendência natural de agruparmos os mesmos por características comuns entre eles.

Exemplos de agrupamentos:

Por cor
Por tamanho
Por forma

Matematicamente, estes agrupamentos recebem o nome de Conjuntos.

Por exemplo:

Conjunto das vogais: {a, e, i, o, u}
Conjunto dos estados brasileiros que iniciam pela letra “S”: {SP, SE, SC}

Em nossos estudos, temos interesse especial nos Conjuntos Numéricos, os quais vamos começar estudar a partir de agora.

Conjuntos Numéricos

Nos primórdios de nossas civilizações, quando o homem começou contar objetos, para saber se havia extraviado algum de seus pertences, a primeira coisa feita foi associar sues pertences com pedras. Por exemplo:

Um Pastor de Ovelhas, ao levar seu rebanho para pastar, associava uma pedrinha a cada ovelha que saia do cercado.

Ao retornar, ia retirando de pedra em pedra cada vez que uma ovelha retornasse ao cercado.

Se não sobrasse nenhuma pedra, ele tinha certeza de que todas as ovelhas haviam retornado para casa.

Com o passar do tempo, a contagem foi associada a grafias, que denominamos de Números.

Certamente os mais conhecidos são os Números Romanos:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, …

Obs.: como os Romanos não precisavam representar o “nada”, não “criaram um sinal” para representar o zero.

E os Números Arábicos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …

Trabalhando com os números arábicos, podemos começar a definir Conjuntos Numéricos.

O primeiro deles consiste na Contagem Natural dos objetos e, portanto, é denominado de Conjunto dos Números Naturais ( $\dpi{100} \small \mathbf{{\color{Red} \mathbb{N}}}$ ):

$\dpi{100} \boldsymbol{\mathbb{N}=\left \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, \cdots \right \}}$

Nota: para denominar que o Zero não faz parte do conjunto, utilizamos um asterisco (*) na frente da letra que representa o conjunto:

$\dpi{100} \boldsymbol{\mathbb{N}^{*}=\left \{ 1, 2, 3, 4, 5, \cdots \right \}}$

Nota: cada componente de um conjunto, no caso números, é denominado de Elemento do Conjunto.

Com o passar dos tempos, o conjunto dos números naturais já não atendia mais as necessidades do dia a dia. Nos dias de hoje, principalmente quem tem conta em banco, sabe que dependendo da referência, precisamos utilizar Números Negativos, por exemplo:

Saldo bancário: – R$ 2.400,00
Temperatura no interior de um freezer: – 15 °C

Para definir esses números, denominou-se o Conjunto dos Números Inteiros Relativos ( $\dpi{100} \small \boldsymbol{{\color{Red} \mathbb{Z}}}$ ):

$\dpi{100} \boldsymbol{\mathbb{Z}=\left \{ \cdots , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots \right \}}$

Vamos definir, para o momento, três símbolos que relacionam Conjuntos e Elementos:

$\dpi{100} \boldsymbol{\in \, \rightarrow \, }$ pertence
$\dpi{100} \boldsymbol{\supset \, \rightarrow \, }$ contém
$\dpi{100} \boldsymbol{\subset \, \rightarrow \, }$ está contido

E suas respectivas negações:

$\dpi{100} \boldsymbol{\notin \, \rightarrow \, }$ não pertence
$\dpi{100} \not\supset\, \rightarrow$ não contém
$\dpi{100} \not\subset\, \rightarrow$ não está contido

Importante:

Pertence: relação entre Elementos e Conjunto
Contém e Está Contido: relação entre Conjuntos

Para ilustrar, vamos ver a seguir dois exemplos de utilização dos símbolos já vistos, um correto e outro incorreto:

Correto: $\dpi{100} \mathbf{2\in \mathbb{N}\, \, \, e\: \: \: \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}}$
Incorreto: $\dpi{100} \mathbf{2\subset \mathbb{N}\, \, \, e\: \: \: \mathbb{N}\in \mathbb{Z}}$

Até agora já vimos dois conjuntos numéricos, porém, ambos se referem a números inteiros e sabemos que no dia a dia trabalhamos com números “não inteiros” ou decimais.

Dentre os números decimais, existe uma fatia que conseguimos representar na forma de fração.

Exemplos:

1,5 = 3/2
2,4 = 24/10 = 12/5

Inclusive as Dízimas Periódicas:

3,33333… = 10/3
1,16666… = 7/6

O conjunto que engloba todos os números que podem ser representados por frações é denominado de Conjunto dos Números Racionais ( $\dpi{100} \small \dpi{100} \small {\color{Red} \boldsymbol{\mathbb{Q}}}$ ):

Na forma genérica, temos que:

$\dpi{100} \mathbf{\mathbb{Q}=\left \{ \left ( \frac{a}{b} \right ) \setminus a\in \mathbb{Z}\, \, \wedge \, \, b\in \mathbb{Z}^{*}\right \}}$

Notas:

Definições de mais alguns símbolos matemáticos:

$\dpi{100} \small \boldsymbol{\setminus \, \rightarrow \, }$ tal que

$\dpi{100} \small \boldsymbol{\wedge \, \rightarrow \, }$ e

$\dpi{100} \small \boldsymbol{\vee \, \rightarrow \, }$ ou

$\dpi{100} \small \boldsymbol{b\in \mathbb{Z}^{*}}$ , pois, o denominador de uma fração não pode ser nulo, ou seja, não é definida a divisão por zero.

Obs.: todo número inteiro pode ser representado por uma fração.

Exemplos:

3 = 6/2
7 = 21/3

Assim sendo, temos que:

$\dpi{100} \boldsymbol{\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\, \, \, e\: \, \, \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}}$

Existe ainda uma parcela de números que “não podem ser representados por uma fração”.

Exemplos: $\dpi{100} \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{7}, \boldsymbol{\pi }, \cdots$

O Conjunto Numérico ao qual pertence esta parcela de números é denominado de Conjunto dos Números Irracionais ( $\dpi{100} \small \boldsymbol{{\color{Red} \mathbb{I}}}$ ).

O conjunto mais geral que representa a junção (união) dos Racionais com os Irracionais é denominado Conjunto dos Números Reais ( $\dpi{100} \small \dpi{100} \small \boldsymbol{{\color{Red} \mathbb{R}}}$ ).

Nota: existe ainda uma classe de números que “não são reais”, denominados de Imaginários. A adição dos conjuntos Reais e Imaginários, resulta no conjunto dos Números Complexos ( $\dpi{100} \small \boldsymbol{{\color{Red} \mathbb{C}}}$ ), os quais serão estudados num capítulo à parte. Apenas para exemplificar, podemos citar como um número complexo a $\dpi{100} \small \mathbf{\sqrt{-1}}$ .

Quando trabalhamos com o conjunto dos números reais, entre dois números (elementos) pertencentes ao mesmo, sempre existirá uma infinidade de outros números (elementos).

Assim sendo, fica bem “esquisito” tentar representar o Conjunto dos Números Reais através de um conjunto de números, o que, por exemplo, seria alguma coisa desse tipo:

$\dpi{100} \mathbf{\mathbb{R}=\left \{ \cdots , -3, \cdots , -2, \cdots, -1, \cdots , 0, \cdots , 1, \cdots , 2, \cdots , 3, \cdots \right \}}$

Recorrendo a Geometria Plana, sabemos que a Reta é um ente matemático que por definição possui infinitos pontos.

Assim sendo, a forma gráfica mais comum de representar o Conjunto dos Números Reais é através de uma reta, a qual é denominada Reta Real.

Subconjuntos e Conjuntos Intervalos

Subconjuntos

Quando um conjunto A está contido em outro conjunto B ( $\dpi{100} \small \mathbf{A\subset B}$ ), podemos dizer que A é um subconjunto de B.

Nota: o conjunto vazio, { } ou $O$ , é considerado um subconjunto de qualquer conjunto.

Assim sendo, temos que o conjunto N é um subconjunto de Z, o qual, por sua vez, é um subconjunto de Q e tanto Q quanto I são subconjuntos de R.

Na sequência, temos uma representação gráfica da relação entre os conjuntos numéricos vistos até agora.

Obs.: esse tipo de diagrama é denominado Diagrama de Venn.

Conjuntos Intervalos

Quando trabalhamos com o Conjunto dos Reais, entre dois números quaisquer, sempre existirá uma infinidade de outros números.

Assim sendo, a representação gráfica de um subconjunto de R será um intervalo (segmento de reta) marcado sobre a Reta Real.

Nomenclatura: graficamente, bolinha aberta: o elemento não pertence ao conjunto e Bolinha fechada: o elemento pertence ao conjunto.

A = [ a , b ] ou onde: $\dpi{100} \mathbf{a\in A\, \, \, \, \, e\, \, \, \, \, b\in A}$
B = ] a , b ] ou onde: $\dpi{100} \mathbf{a\notin B\, \, \, \, \, e\, \, \, \, \, b\in B}$
C = [ a , b [ ou onde: $\dpi{100} \mathbf{a\in C\, \, \, \, \, e\, \, \, \, \, b\notin C}$
D = ] a , b [ ou onde: $\dpi{100} \mathbf{a\notin D\, \, \, \, \, e\, \, \, \, \, b\notin D}$

A seguir serão representados alguns exemplos de subconjuntos de R para fixar o conceito.

$\dpi{100} \mathbf{A=\left \{ x\in \mathbb{R}\setminus a\leq x< b \right \}=[\, a\, ,\, b\, [}$ Graficamente:

$\dpi{100} \mathbf{B=\left \{ x\in \mathbb{R}\setminus x< a \right \}=\, \, ] -\infty , \, a\, [}$ Graficamente:

$\dpi{100} \mathbf{C=\left \{ x\in \mathbb{R}\setminus x\geq a \right \}=[\, a\, ,\, \infty \, [}$ Graficamente:

$\dpi{100} \mathbf{D=\mathbb{R}_{+}=\left \{ x\in \mathbb{R}\setminus x\geq 0 \right \}=[\, 0\, ,\, \infty \, [}$ Graficamente:
$\dpi{100} \mathbf{E=\mathbb{R}_{-}^{*}=\left \{ x\in \mathbb{R}\setminus x< 0 \right \}=\, \, ] -\infty \, ,\, 0\,\, [}$ Graficamente:

Exercícios Resolvidos

01 – (UFSM) Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir.

( ) A letra grega π representa o número racional que vale 3,14159265.

( ) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais são subconjuntos dos números reais e possuem apenas um ponto em comum.

( ) Toda dízima periódica provém da divisão de dois números inteiros, portanto, é um número racional.

A sequência correta é

a) F – V – V b) V – V – F c) V – F – V d) F – F – V e) F – V – F

Resolução:

a) A letra grega π representa um número racional, porém o número de dígitos é infinito. A representação correta seria: 3,14159265… (Falsa)

b) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais são subconjuntos dos números reais, porém, não possuem nenhum ponto em comum. (Falsa)

c) (Verdadeira)

Resposta: alternativa d

02 – (FisMática) O conjunto , também pode ser representado por:

a) ] a, b ] b) [ a, b [ c) [ a, b ] d) ] a, b [ e) nda

Resolução:

Lado esquerdo: o elemento a faz parte do conjunto, portanto, o colchete é normal: [

Lado esquerdo: o elemento b não faz parte do conjunto, portanto, o colchete é invertido: [

Resposta: alternativa b

Exercícios Propostos

01 – (UEL) Observe os seguintes números.

I. 2,212121…

II. 3,212223…

III. π /5

IV. 3,1416

V. $\dpi{100} \sqrt{-4}$

Assinale a alternativa que identifica os números irracionais.

a) I e II b) I e IV c) II e III d) II e V e) III e V

02 – (PUC-RS) A determinação por compreensão do conjunto A = [a; b] é

a) {x ∈ N / a ≤ x ≤ b}

b) {x ∈ Z / a ≤ x ≤ b}

c) {x ∈ Q / a ≤ x ≤ b}

d) {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}

e) {x ∈ C / a ≤ x ≤ b}

03 – (IFAL) Sobre a Teoria dos Conjuntos, assinale a alternativa INCORRETA. Se um número é Natural, ele também é

a) Inteiro b) Racional c) Irracional d) Real e) Complexo

04 – (IFAL) Analise as afirmações abaixo:

I. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Inteiros.

II. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Racionais.

III. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Irracionais.

a) Apenas a afirmação I é verdadeira.

b) Apenas a afirmação II é verdadeira.

c) Apenas a afirmação III é verdadeira.

d) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.

e) Todas as afirmações são verdadeiras.

05 – (UTFPR) Indique qual dos conjuntos abaixo é constituído somente de números racionais.

a) $\dpi{100} \left \{ -1,\, 2,\, \sqrt{2},\, \pi \right \}$

b) $\dpi{100} \left \{ -5,\, 0,\, 1/2,\, \sqrt{9} \right \}$

c) $\dpi{100} \left \{ -2,\, 0,\, \pi ,\, 2/3 \right \}$

d) $\dpi{100} \left \{ \sqrt{3},\, \sqrt{64},\, \pi ,\, \sqrt{2} \right \}$

e) $\dpi{100} \left \{ -1,\, 0,\, \sqrt{3},\, 1/3 \right \}$

06 – (CFTMG) A operação (Δ) entre os conjuntos A e B nessa ordem, é definida por:

AΔB = x ∈ R/ x ∈ B e x ∉ A

Sendo: A = x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 3 e B = x ∈ R / 2 < x ≤ 7 então o conjunto AΔB é igual a:

a) ] 3, 7 ] b) [ 0, 4 [ c) ] -2, 7 [ d) [ 5, 7 ]

07 – (FisMática) O diagrama a seguir representa o conjunto A que é um subconjunto de R:

Qual das alternativas representa esse conjunto?

a) ] -5, 0 ] b) [ -5, ] c) [ -5, [ d) [ -5, 5 ] e) [ -5, 5 [

Gabarito

Ex. 01 – alternativa c.

Ex. 02 – alternativa d.

Ex. 03 – alternativa c.

Ex. 04 – alternativa d.

Ex. 05 – alternativa b.

Ex. 06 – alternativa a.

Ex. 07 – alternativa c.

2 Comentários

gisellealves

11 de janeiro de 2025

Aula excelente!

FisMática

11 de janeiro de 2025
Acesse para responder

O FisMática agradece.

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