M1_DG_Aula 02 – Operações com Intervalos Numéricos
União
Quando realizamos a União ( ∪ ) entre dois conjuntos distintos, o resultado obtido será um terceiro conjunto, ao qual pertencem os elementos comuns e não comuns aos dois conjuntos iniciais.
Simbolicamente, para visualizarmos a definição de Conjunto União, podemos representar da seguinte forma:
Exemplos
1 – Dados os conjuntos: A = { 2; 4; 5; 7; 9 } e B = { 3; 4; 6; 7; 10 }, determine o conjunto C que representa a União entre os conjuntos A e B.
Resolução:
C = A ∪ B = { 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 9; 10 }
2 – Dados os conjuntos: D = { 0; 3; 5; 9; 11 } e E = { 1; 3; 9; 10 }, determine o conjunto F que representa a União entre os conjuntos D e E.
Resolução:
F = D ∪ E = { 0; 1 ; 3; 5; 9; 10; 11 }
Quando trabalhamos com Intervalos Numéricos, a forma mais fácil para determinarmos o Conjunto União, é utilizar a representação dos intervalos sobre a reta real. Mais à frente serão dados dois exemplos utilizando intervalos numéricos.
Intersecção
Quando realizamos a Intersecção ( ∩ ) entre dois conjuntos distintos, o resultado obtido será um terceiro conjunto, ao qual pertencem apenas os elementos comuns aos dois conjuntos iniciais.
Simbolicamente, para visualizarmos a definição de Conjunto Intersecção, podemos representar da seguinte forma:
Exemplos
Para comparação entre União e Intersecção, vamos utilizar os mesmos conjuntos dos exercícios sobre União.
1 – Dados os conjuntos: A = { 2; 4; 5; 7; 9 } e B = { 3; 4; 6; 7; 10 }, determine:
a) o conjunto C que representa a União entre os conjuntos A e B;
b) o conjunto D que representa a Intersecção entre os conjuntos A e B.
Resolução:
C = A ∪ B = { 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 9; 10 }
D = A ∩ B = { 4; 7 }
2 – Dados os conjuntos: E = { 0; 3; 5; 9; 11 } e F = { 1; 3; 9; 10 }, determine:
a) o conjunto G que representa a União entre os conjuntos E e F;
b) o conjunto H que representa a Intersecção entre os conjuntos E e F.
Resolução:
G = E ∪ F = { 0; 1 ; 3; 5; 9; 10; 11 }
H = E ∩ F = { 3; 9 }
Como vimos para o Conjunto União, quando trabalhamos com Intervalos Numéricos, a forma mais fácil para determinarmos o Conjunto Intersecção, é utilizar a representação dos intervalos sobre a reta real.
Vamos ver dois exemplos envolvendo União e Intersecção de intervalos numéricos.
1 – Determine os conjuntos U (União) e I (intersecção) entre os conjuntos A e B definidos a seguir:
e
Resolução:
2 – Determine os conjuntos U (União) e I (intersecção) entre os conjuntos C e D definidos a seguir:
e
Resolução:
Complementar de um Conjunto
Diferença entre dois Conjuntos
Dados dois conjuntos, o subconjunto dos elementos de um deles que não pertence ao outro conjunto é denominado de Diferença entre os Conjuntos.
Por definição, temos que:
“Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.”
Simbolicamente, temos que:
Complementar Absoluto
Sejam dois conjuntos A e U onde U representa o Conjunto Universo.
Denomina-se Conjunto Complementar de A ( AC ) o conjunto de todos os elementos de U que não pertencem ao conjunto A.
Obs.: AC é denominado de Complementar Absoluto
Por definição, temos que:
Representações:
Nota:
Vamos ver como fica no Diagrama de Venn.
Complementar Relativo entre dois Conjuntos
Geralmente estamos interessados em obter o complementar de um determinado conjunto em relação a outro conjunto, que não seja o conjunto universo.
Por exemplo, dados dois conjuntos A e B, onde , o conjunto complementar de A em relação a B é definido por:
No Diagrama de Venn, temos que:
Obs.:
Vamos ver um exemplo para clarear as ideias.
Dados os conjuntos:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A = {3, 7, 10}
B = {2, 3, 5, 7, 8, 10}
temos que:
- Complementar absoluto de A: AC = U – A = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12}
- Complementar absoluto de B: BC = U – B = {0, 1, 4, 6, 9, 11, 12}
- Complementar de A em relação a B:
= B – A = {2, 5, 8}
- Complementar de B em relação a A:
= A – B = { }
Exercícios Resolvidos
01 – (CESGRANRIO) Se, ,
e
o intervalo que representa
é:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Resposta: (alternativa a)
02 – (ENEM) No dia 17 de Maio próximo passado, houve uma campanha de doação de sangue em uma Universidade. Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um grupo de 100 alunos da Universidade constatou que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B e 12 o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o número de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:
a) 20 alunos b) 26 alunos c) 34 alunos d) 35 alunos e) 36 alunos
Resolução:
Vamos somar os grupos A e B e subtrair o AB, comum aos dois:
A + B – AB = 42 + 36 – 12 = 66 alunos
As pessoas que têm o antígeno O fazem parte do complemento para os 100 alunos.
Resposta: O = 100 – 66 = 34 alunos (alternativa c)
Para ilustrar, vamos representar os resultados num Diagrama de Venn:
Exercícios Propostos
01 – (PUC-MG) Se A = ]-2; 3] e B = [0; 5], então os números inteiros que estão em B – A são:
a) -1 e 0 b) 1 e 0 c) 4 e 5 d) 3, 4 e 5 e) 0, 1, 2 e 3
02 – (PUC) Em um colégio, de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos alunos não gostam de nenhum dos dois sabores?
a) 0 b) 10 c) 20 d) 30 e) 40
03 – (UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C, e 20 votos para A e C. Em consequência:
a) venceu A, com 120 votos.
b) venceu A, com 140 votos.
c) A e B empataram em primeiro lugar.
d) venceu B, com 140 votos.
e) venceu B, com 180 votos.
04 – (ENEM) No dia 17 de maio passado, houve uma campanha de doação de sangue em uma universidade. Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um grupo de 100 alunos da universidade constatou que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B, e 12 o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o número de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:
a) 20 alunos b) 26 alunos c) 34 alunos d) 35 alunos e) 36 alunos
05 – (VUNESP) Suponhamos que A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} e A – B = {a, b, c}, então:
a) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
c) B = { }
d) B = {d, e}
e) B = {a, b, c, d, e}
06 – (CFTMG) Sejam Z e Q respectivamente, os conjuntos dos números inteiros e racionais, o número que NÃO pertence ao conjunto (Z ∪ Q) – (Z ∩ Q) é
a) 3,14 b) 1,33333… c) – 7/5 d) – 1
07 – (EPCAR) Considere os seguintes conjuntos numéricos N, Z, Q, R, I = R – Q e considere também os seguintes conjuntos:
A = (N ∪ I) – (R ∩ Z), B = Q – (Z – N) e D = (N ∪ I) ∪ (Q – N)
Das alternativas abaixo, a que apresenta elementos que pertencem aos conjuntos A, B e D, nesta ordem, é
a) –3; 0,5 e 5/2 b) √20, √10 e √5 c) –√10, –5 e 2 d)
08 – (IFAL) Assinale a alternativa verdadeira.
a) {1, 2, 4, 6, 7} = [1, 7]
b) Se C = ] – 1, 3 ], então – 1 ∉ C, mas 3 ∈ C
c) Se D = [ 2, 6 ], então 2 ∈ D, mas 3 ∉ D
d) A intersecção de dois intervalos numéricos é sempre um intervalo numérico.
e) A união de dois intervalos numéricos pode ser um conjunto vazio.
09 – (UEL) Considere os seguintes conjuntos:
I. A = {x ∈ R/ 2 < x < 20}
II. B = {x ∈ N/ x = 2n, n ∈ N}
III. C = {x ∈ N/ x = 40/n, n ∈ N*}
O conjunto (A ∩ B) ∩ C tem:
a) Dois elementos.
b) Três elementos.
c) Quatro elementos.
d) Oito elementos.
e) Quatorze elementos.
10 – (CFTPR) Nas proposições abaixo:
I) 3/5 ∈ (Q – Z)
II) (6 – 9) ∈ Z
III) 5 ∈ (R – Z)
IV) √9 ∈ (R – Q)
V)
São verdadeiras apenas:
a) I, II e III b) I, II e IV c) I, II e V d) II, III e IV e) II, III e V
Gabarito
Ex. 01 – alternativa c.
Ex. 02 – alternativa b.
Ex. 03 – alternativa e.
Ex. 04 – alternativa c.
Ex. 05 – alternativa b.
Ex. 06 – alternativa d.
Ex. 07 – alternativa d.
Ex. 08 – alternativa b.
Ex. 09 – alternativa b.
Ex. 10 – alternativa c.