M2_Aula 01 – Sequências
Quando trabalhamos com conjuntos, principalmente os numéricos, é comum representarmos seus elementos de forma que estejam em determinada sequência.
Por exemplo:
- Conjunto dos meses do ano que iniciam com a letra jota:
C1 = (janeiro, junho, julho)
- Conjunto dos números naturais, ímpares, menores do que 12:
C2 = (1, 3, 5, 7, 9, 11)
Para representar a ordem, o mais comum é associar cada elemento do conjunto, que contém a sequência, com os elementos dos números naturais sem o zero ( N* ).
Os exemplos anteriores ficariam assim:
- C1 = {(1, janeiro), (2, junho), (3, julho)}
- C2 = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 9), (6, 11)}
Na prática, para simplificar, os números da esquerda, que são os naturais, são omitidos, como mostram os exemplos a seguir:
Exemplos:
- S1 = (0, 2, 4, 6, 8) => sequência finita dos números reais menores do que 10
- S2 = (0, 5, 10, 15, …) => sequência infinita dos números reais múltiplos de 5
- S3 = (2, 3, 5, 7, 11, 13, …) => sequência infinita dos números primos
De forma genérica, podemos representar as sequências como segue:
Sequência finita:
SF = (a1, a2, a3, …, an)
Sequência infinita:
SI = (a1, a2, a3, …, an, …)
Obs.: a sequência onde a1 = 1, a2 =2, a3 = 3, …, an = n, é denominada de Sequência Real.
Finalmente podemos definir uma sequência:
“Uma Sequência é a correspondência entre dois conjuntos A e B, onde A
N* e B é um conjunto qualquer.”
Lei de formação de uma sequência
Particularmente para a matemática, existe um interesse especial nas sequências que obedecem à regras pré-determinadas, pois, assim sendo, podemos determinar a posição e valor de qualquer elemento dessa sequência.
Podemos definir três categorias de regras, de acordo com as características de uma determinada sequência: fórmula de recorrência, expressão para cada elemento e propriedade dos termos
1 – Fórmula de recorrência
Como o próprio título sugere, conhecendo um termo, por recorrência, é possível determinar o próximo termo, desde que sejam conhecidas as regras para definir o primeiro termo (a1) e sua relação com os termos sucessivos.
Exemplo:
Represente a sequência finita SF sendo dada a seguinte regra de recorrência:
a1 = 3 e an = an-1 + 5, para (2, 3, 4, 5, 6, 7)
Resolução:
n = 1 => a1 = 3
n = 2 => a2 = a1 + 5 = 3 + 5 => a2 = 8
n = 3 => a3 = a2 + 5 = 8 + 5 => a3 = 13
n = 4 => a4 = a3 + 5 = 13 + 5 => a4 = 18
n = 5 => a5 = a4 + 5 = 18 + 5 => a5 = 23
n = 6 => a6 = a5 + 5 = 23 + 5 => a6 = 28
n = 7 => a7 = a6 + 5 = 28 + 5 => a7 = 33
Resposta: SF = (3, 8, 13, 18, 23, 28, 33)
2 – Definindo cada termo em função de sua posição
Nesse caso, é fornecida uma expressão matemática, a qual relaciona um determinado termo com sua posição, ou seja, temos que an = f(n).
Exemplo:
Represente os quatro primeiros termos da sequência infinita SF sendo dada a seguinte expressão:
SI = 5.n + 4, para
n = 1 => a1 = 5.1 + 4 = 5 + 4 => a1 = 9
n = 2 => a2 = 5.2 + 4 = 10 + 4 => a2 = 14
n = 3 => a3 = 5.3 + 4 = 15 + 4 => a3 = 19
n = 4 => a4 = 5.4 + 4 = 20 + 4 => a4 = 24
Resposta: SI = (9, 14, 19, 24, …)
3 – Propriedade dos termos
É definida uma propriedade a qual os termos devem atender.
Exemplo:
Represente a sequência finita SF para os números primos compreendidos entre 10 e 30.
Resposta: SF = (11, 13, 17, 19, 23, 29)
Nota: observando a sequência acima, vemos que esta não se encaixa nos dois casos anteriores.
Exercícios Resolvidos
01 – (FisMática) Represente os cinco primeiros termos da sequência infinita SI sendo dada a seguinte regra de recorrência:
a1 = 4 e an = an-1 + 2, para
Resolução:
n = 1 => a1 = 4
n = 2 => a2 = a1 + 2 = 4 + 2 => a2 = 6
n = 3 => a3 = a2 + 2 = 6 + 2 => a3 = 8
n = 4 => a4 = a3 + 2 = 8 + 2 => a4 = 10
n = 5 => a5 = a4 + 2 = 10 + 2 => a5 = 12
Resposta: SI = (4, 6, 8, 10, 12, …)
02 – (FisMática) Represente os três primeiros termos da sequência infinita SI sendo dada a seguinte regra:
an = 3n + 2, para
Resolução:
n = 1 => a1 = 31 + 2 = 3 + 2 => a1 = 5
n = 2 => a2 = 32 + 2 = 9 + 2 => a2 = 11
n = 3 => a3 = 33 + 2 = 27 + 2 => a3 = 29
Resposta: SI = (5, 11, 29, …)
03 – (ESPM) A soma dos n primeiros termos de uma sequência numérica é dada pela expressão:
Sn = 8.n2 – 1
Pode-se afirmar que seu décimo termo é igual a:
a) 128 b) 132 c) 146 d) 150 e) 152
Resolução:
Seja o décimo termo da sequência. Como a soma dos dez primeiros termos é igual à soma do décimo termo com a soma dos nove primeiros termos, temos que:
a10 + S9 = S10 => a10 + 8.92 – 1 = 8×102 – 1 => a10 = 800 – 648 = 152
Resposta: alternativa e
Exercícios Propostos
01 – (FAMERP) Observe o padrão da sequência de figuras:
Mantido o padrão, a figura que terá a quantidade de bolas brancas superando a de bolas verdes em 286 será a de número
a) 13 b) 18 c) 14 d) 16 e) 21
02 – (FisMática) A soma dos três primeiros termos da sequência infinita SI representada pela regra a seguir, vale:
an = 3n + 2, para
a) 42 b) 46 c) 44 d) 43 e) 45
03 – (ENEM) A figura ilustra uma sequência de formas geométricas formadas por palitos, segundo uma certa regra.
Continuando a sequência, segundo essa mesma regra, quantos palitos serão necessários para construir o décimo termo da sequência?
a) 30 b) 39 c) 40 d) 43 e) 57
04 – (UNIFESP) A soma dos termos que são números primos da sequência cujo termo geral é dado por an = 3.n + 2, para n natural, variando de 1 a 5, é
a) 10 b) 16 c) 28 d) 33 e) 36
05 – (UTFPR) A quantidade de números inteiros entre 50 e 100 que sejam múltiplos dos números 3 e 4 ao mesmo tempo é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 13 e) 17
06 – (FisMática) Uma sequência infinita SI é representada pela seguinte regra de recorrência:
a1 = 3 e an = an-1 + 4, para
O quarto termo dessa sequência vale:
a) 15 b) 16 c) 14 d) 13 e) 17
07 – (MACK) A soma dos 2n primeiros termos da sequência (2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, …) é 410. Então n vale:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
08 – (FEI) Os termos da sequência 1, 3, 6, 10, … são definidos por: a1 = 1 e na = n + na – 1 para qualquer n > 1. A diferença a30 – a28 vale:
a) 2 b) 5 c) 30 d) 58 e) 59
09 – (FAMERP) A figura mostra, em perspectiva, as quatro primeiras pilhas de blocos de uma sequência.
Mantida a mesma lógica de empilhamento dos blocos, a 6ª pilha da sequência terá um total de blocos igual a
a) 149 b) 171 c) 146 d) 151 e) 144
10 – (CFTMG) A soma dos n primeiros termos de uma sequência é dada pela fórmula:
Sn = 3.n3 + 2.n
Desse modo, a diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa sequência é igual a
a) 5 b) 18 c) 23 d) 33
Gabarito
Ex. 01 – alternativa b.
Ex. 02 – alternativa e.
Ex. 03 – alternativa b.
Ex. 04 – alternativa d.
Ex. 05 – alternativa b.
Ex. 06 – alternativa a.
Ex. 07 – alternativa d.
Ex. 08 – alternativa e.
Ex. 09 – alternativa c.
Ex. 10 – alternativa b.