M2_Aula 02 – Progressão Aritmética
Na aula anterior estudamos as Sequências Numéricas.
Nesta aula, vamos estudar um caso particular das sequências numéricas, denominada de Sequências Aritméticas ou como é mais conhecida: Progressão Aritmética.
Observe a sequência a seguir:
S = {2, 5, 8, 11, 14, 17, …}
Veja o que acontece quando calculamos a diferença entre dois termos consecutivos:
a2 – a1 = 5 – 2 = 3
a3 – a2 = 8 – 5 = 3
a4 – a3 = 11 – 8 = 3
Notem que o resultado é sempre uma constante, a qual é denominada de razão ( r ), no exemplo dado, igual a 3 (r = 3).
Portanto, a constância mantida entre os termos consecutivos de uma sequência numérica é a principal característica de uma Progressão Aritmética.
Mais alguns exemplos:
S1 = {4, 5, 6, 7, 8, …} => r = 1
S2 = {7, 7, 7, 7, 7, …} => r = 0
S3 = {10, 5, 0, – 5, – 10, …} => r = – 5
S4 = {0, 1/2, 1, 3/2, 2, …} => r = 1/2
Agora que já entendemos o que é uma Progressão Aritmética, podemos defini-la de uma forma genérica:
“Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica (a1, a2, a3, …, an, …), onde a diferença entre dois termos consecutivos é uma constante denominada razão ( r ).”
Classificação das Progressões Aritméticas
Dada uma PA, com razão r, de acordo com o valor de r, a PA pode ser classificada em:
- Crescente: quando tivermos r > 0
- Decrescente: quando tivermos r < 0
- Constante: quando tivermos r = 0
Termo Geral de uma PA
Vamos considerar a PA genérica (a1, a2, a3, …, an, …), com razão r.
Vamos calcular cada termo, a partir do primeiro, pela técnica de recorrência:
a2 = a1 + r => a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + 1.r) + r => a3 = a1 + 2.r
a4 = a3 + r = (a1 + 2.r) + r => a4 = a1 + 3.r
a5 = a4 + r = (a1 + 3.r) + r => a5 = a1 + 4.r
Generalizando, temos a Fórmula do Termo Geral de um PA:
an = a1 + (n – 1).r
Nota: tomando um termo qualquer, por exemplo: a5 = a1 + 4.r, verificamos que, a soma do índice do primeiro termo, no caso ( 1 ) com o fator que multiplica a razão, no caso ( 4 ), sempre será igual ao índice do termo geral, no caso ( 5 ). Essa regra é sempre válida, mesmo que o termo do lado direito não seja a1.
Vejamos alguns exemplos:
a7 = a3 + 4.r
a12 = a10 + 2.r
a34 = a20 + 14.r
Exercícios Resolvidos
01 – (INTERBITS) Karen inventou um jogo de cartas com 40 cartões, cada um com cinco números naturais consecutivos, de modo que o 1º cartão tem os números de 1 a 5, o 2º cartão deve ter um único número igual ao 1º cartão, o 3º cartão deve ter um único número igual ao 2º cartão, e assim sucessivamente.
A soma dos cinco números presentes no 30º cartão deste jogo é
a) 589 b) 595 c) 789 d) 795
Resolução:
1º cartão => 1, 2, 3, 4, 5
2º cartão => 5, 6, 7, 8, 9
3º cartão => 9, 10, 11, 12, 13
Primeiro número de cada cartão => 1, 5, 9 => PA com r = 4
a30 = a1 + (n – 1).r = 1 + (30 – 1).4 => a30 = 117
30º cartão => 117, 118, 119, 120, 121
Soma => 117 + 118 + 119 + 120 + 121 = 595 (alternativa d)
02 – (FisMática) Qual é o 17º termo da PA (3, 7, 11, …)?
Resolução:
17º termo: n = 17
Primeiro termo: a1 = 3
Razão: r = 7 – 3 = 4
Utilizando a fórmula do termo geral, temos que:
a17 = a1 + (n – 1).r = 3 + (17 – 1).4 = 3 + 16×4 = 3 + 64 => a17 = 67
Ou de uma forma mais direta:
a17 = a1 + 16.r = 3 + 16×4 = 3 + 64 => a17 = 67
03 – (FisMática) Determine a razão de uma PA, sabendo que o 16º termo é 20 e o 34º é 110.
Resolução:
16º termo é 20: a16 = 20
34º termo é 110: a34 = 110
Utilizando a expressão mais compacta, temos que:
a34 = a16 + 18.r => 110 = 20 + 18.r => 90 = 18.r => r = 90/18 => r = 5
Exercícios Propostos
01 – (UEFS) Uma progressão aritmética (PA) possui 17 termos, todos positivos. A diferença entre o maior termo (a17) e o menor termo (a1) dessa PA é igual a 48. Sabendo que, dentre os números primos que ocorrem nessa PA, 13 é o menor e 43 é o maior, o valor de a1 + a17 é
a) 59 b) 62 c) 65 d) 68 e) 71
02 – (FAMEMA) A tabela apresenta o padrão de uma sequência numérica da linha 1 até a linha x. Admita que o padrão de formação da tabela não se modifique.
Sabendo que 63,0 é o primeiro número da linha x e que 66,5 é o último, x é igual a
a) 36 b) 34 c) 35 d) 37 e) 33
03 – (COTUCA) João brinca com palitos de fósforo montando figuras. Na 1ª etapa, monta um triângulo e, nas etapas seguintes, vai acrescentando triângulos conforme a sequência representada abaixo.
O número de palitos de fósforo necessários e suficientes para a construção da 10ª etapa é:
a) 51 b) 54 c) 57 d) 60 e) 63
04 – (ENEM) O slogan “Se beber não dirija”, muito utilizado em campanhas publicitárias no Brasil, chama a atenção para o grave problema da ingestão de bebida alcoólica por motoristas e suas consequências para o trânsito. A gravidade desse problema pode ser percebida observando como o assunto é tratado pelo Código de Trânsito Brasileiro. Em 2013, a quantidade máxima de álcool permitida no sangue do condutor de um veículo, que já era pequena, foi reduzida, e o valor da multa para motoristas alcoolizados foi aumentado. Em consequência dessas mudanças, observou-se queda no número de acidentes registrados em uma suposta rodovia nos anos que se seguiram às mudanças implantadas em 2013, conforme dados no quadro.
Suponha que a tendência de redução no número de acidentes nessa rodovia para os anos subsequentes seja igual à redução absoluta observada de 2014 para 2015.
Com base na situação apresentada, o número de acidentes esperados nessa rodovia em 2018 foi de
a) 150 b) 450 c) 550 d) 700 e) 800
05 – (IFAL) Determine o 10º termo de uma progressão aritmética, sabendo que o primeiro termo é 2017 e a razão é 7.
a) 2059 b) 2066 c) 2073 d) 2080 e) 2087
06 – (FEI) Os termos da sequência 1, 3, 6, 10, … são definidos por: a1 = 1 e an = n + an – 1 para qualquer n > 1. A diferença a30 – a28 vale:
a) 2 b) 5 c) 30 d) 58 e) 59
07 – (ENEM) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1.380 metros da praça.
Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8.000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é
a) R$ 512.000,00 b) R$ 520.000,00 c) R$ 528.000,00 d) R$ 552.000,00 e) R$ 584.000,00)
08 – (UECE) O quadro numérico exposto abaixo foi construído seguindo uma lógica estrutural.
Seguindo a lógica adotada na construção do quadro, é possível afirmar corretamente que o número que ocupa a posição central da Linha 20 é
a) 31 b) 29 c) 32 d) 30
09 – (IFAL) Determine o 2017º termo da Progressão Aritmética cujo 1º termo é 4 e cuja razão é 2.
a) 4.032 b) 4.034 c) 4.036 d) 4.038 e) 4.040
10 – (IMED) Uma garota decidiu brincar com seus carimbos e, em pedaços de papel, criou uma sequência de figuras.
Quantos triângulos e quantos círculos haverá na vigésima figura se a garota mantiver o padrão da sequência ilustrada.
a) 400 círculos e 210 triângulos b) 210 círculos e 400 triângulos c) 40 círculos e 19 triângulos
d) 20 círculos e 39 triângulos e) 39 círculos e 20 triângulos
Gabarito
Ex. 01 – alternativa d.
Ex. 02 – alternativa c.
Ex. 03 – alternativa c.
Ex. 04 – alternativa d.
Ex. 05 – alternativa d.
Ex. 06 – alternativa e.
Ex. 07 – alternativa c.
Ex. 08 – alternativa b.
Ex. 09 – alternativa c.
Ex. 10 – alternativa e.