M2_Aula 03 – PA: Propriedades e Soma

Propriedades de uma PA

Inicialmente vamos entender as propriedades de uma PA verificando diretamente em dois exemplos práticos, para depois chegarmos a uma expressão que represente tais propriedades.

1 – Consideremos a PA com primeiro termo igual a 2 e razão 3:

PA = (2, 5, 8, 11, 14. 17, 20, 23, …)

Vamos utilizar um termo qualquer e calcular a média aritmética (MA) entre o seu antecessor e seu sucessor:

Termo 11: MA₁₁ = (8 + 14)/2 = 22/2 => MA₁₁ = 11
Termo 17: MA₁₇ = (14 + 20)/2 = 34/2 => MA₁₇ = 17

Que interessante!!! A média aritmética é igual ao próprio termo!!

Vamos ver mais um exemplo.

2 – Consideremos a PA com primeiro termo igual a 5 e razão 6:

PA = (5, 11, 17, 23, 29. 35, 41, 47, …)

Vamos utilizar um termo qualquer e calcular a média aritmética (MA) entre o seu antecessor e seu sucessor:

Termo 23: MA₂₃ = (17 + 29)/2 = 46/2 => MA₂₃ = 23
Termo 41: MA₄₁ = (35 + 47)/2 = 82/2 => MA₄₁ = 41

Novamente, a média aritmética é igual ao próprio termo.

Bom, isso não é coincidência e sim uma propriedade das PAs.

Baseado nos dois exemplos anteriores, vamos generalizar a propriedade.

Sejam um termo genérico a_p, seu antecessor a_p-1 e seu sucessor a_p+1.

A PA genérica, seria dada por:

PA = (a₁, a₂, a₃, …, a_p-1, a_p, a_p+1, …, a_n, …)

Propriedade:

“Numa PA, com exceção dos extremos, um termo qualquer sempre será igual a média aritmética entre seu antecessor e seu sucessor.”

Em forma de expressão matemática, temos que:

$\dpi{100} \mathbf{a_{p}=\frac{a_{p-1}+a_{p+1}}{2}}$

Vamos agora ver uma segunda propriedade das PAs finitas, utilizando para tanto um exemplo, como fizemos anteriormente.

Consideremos a PA finita com 12 termos, sendo o primeiro termo igual a 2 e razão 3:

PA = (2, 5, 8, 11, 14. 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35)

Vamos somar dois termos de forma que a “distância” do primeiro ao primeiro termo seja igual a do segundo em relação ao último termo.

Exemplos:

5 + 32 = 37
8 + 29 = 37
11 + 26 = 37

Agora vamos somar os extremos: 2 + 35 = 37

Vejam que interessante!!! A soma dos termos equidistantes do primeiro e último é uma constante e igual à soma dos extremos!!!

Baseado no exemplo anterior, vamos generalizar a propriedade.

A PA genérica, seria dada por:

PA = (a₁, a₂, a₃, …, a_1+p, …, a_{n – p}, …, a_n-2, a_n-1, a_n)

Propriedade:

“Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos sempre será igual a própria soma dos extremos.”

Em forma de expressão matemática, temos que:

$\dpi{100} \mathbf{a_{1}+a_{n}=a_{p+1}+a_{n-p}}$

Soma dos termos de uma PA finita

Desde meu ensino médio, lembro quando ouvi pela primeira vez a façanha de um professor de matemática que não estava muito a fim de dar aula e passou para seus alunos a tarefa de somar os números de 1 a 100.

O problema é que na sala de aula estava um aluno de 9 anos, chamado Gauss (Johann Carl Friedrich Gauss, 1777 – 1855), que fez a conta em poucos segundos.

Para espanto do professor o resultado apresentado por Gauss estava certo!!!

Vamos ver como foi que Gauss pensou.

Seja a soma a ser realizada na ordem crescente e decrescente:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100

S = 100 + 99 + 98 + 97 + … + 4 + 3 + 2 + 1

Gauss observou que quando se somavam os termos equivalentes, se obtinha um valor fixo:

Exemplos:

1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101

E assim sucessivamente.

Somando os lados antes e depois da igualdade, temos que:

S + S = 101 + 101 + 101 + … (100 vezes)

2S = 101×100 => s = 10100/2 => S = 5.050

Fantástico, não!!!

Baseado no raciocínio de Gauss, também podemos pensar da seguinte forma:

Observando a figura, vemos que, como estamos somando os termos de dois em dois, teremos 50 somas de 101, ou seja:

S = 50×101 => S = 5.050

Que é o mesmo resultado obtido anteriormente.

Utilizando o último raciocínio, podemos chegar a uma expressão geral para a soma dos n termos de uma PA finita:

$\dpi{100} \mathbf{S_{n}=\frac{\left ( a_{1}+a_{n} \right ).n}{2}}$

Exercícios Resolvidos

01 – (FUVEST) O cilindro de papelão central de uma fita crepe tem raio externo de 3 cm. A fita tem espessura de 0,01 cm e dá 100 voltas completas.

Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é aumentado no valor da espessura da fita, o comprimento total da fita é de, aproximadamente, (Note e adote: π ≌ 3,14)

a) 9,4 m b) 11,0 m c) 18,8 m d) 22,0 m e) 25,1 m

Resolução:

Lembrete: comprimento de um círculo => c = 2.π.r

Espessura da fita: e = 0,01 cm

Acréscimo do raio em cada volta: r_p+1= r_p + e => r_p+1= r_p + 0,01

Os raios aumentam segundo a PA finita:

Com 100 voltas: n = 100

Primeiro termo: a₁ = 3,01

Razão: r = 0,01

Último termo: a₁₀₀ = a₁ + 99.r = 3,01 + 99×0,01 => a₁₀₀ = 4,00

PA = (3,00, 3,01, 3,02, 3,03, 3,04, …, 4,00)

O comprimento total da fita será igual a C = 2.π.S₁₀₀

C = 2.π.3,00 + 2.π.3,01 + 2.π.3,02 + … + 2.π.4,00 => C = 2.π.S₁₀₀

Cálculo da soma da PA:

$\dpi{100} S_{n}=\frac{\left ( a_{1}+a_{n} \right ).n}{2}\Rightarrow S_{100}=\frac{\left ( 3,01+4,00 \right ).100}{2}=350,5$

Finalmente o cálculo do comprimento total:

C = 2.π.S₁₀₀ = 2×3,14×350,5 => C = 2201,14 cm (alternativa d)

02 – (UPF) De uma progressão aritmética a_n de razão r, sabe-se que a₈ = 16 e a₁₄ = 4. Seja S_n a soma dos n primeiros termos de a_n, o menor valor de n, de modo que S_n = 220, é

a) 12 b) 11 c) 14 d) 16 e) 18

Resolução:

Primeiramente vamos determinar o primeiro termo a₁ e a razão r da PA.

a₈ = a₁ + 7.r => 16 = a₁ + 7.r ( eq. I )

a₁₄ = a₁ + 13.r => 4 = a₁ + 13.r ( eq. II )

Isolando o termo a₁ da (eq. I) e substituindo na (eq. II), temos:

(eq. I) a₁ = 16 – 7.r

(eq. II) 4 = a₁ + 13.r => 4 = (16 – 7.r) + 13.r => 4 – 16 = – 7.r + 13.r => – 12 = 6.r => r = – 2

Substituindo o valor de r na (eq. I), temos:

a₁ = 16 – 7.r = 16 – 7x(– 2) = 16 + 14 => a₁ = 30

Seguindo o enunciado, vamos calcular n para que tenhamos S_n = 220.

$\dpi{100} S_{n}=\frac{\left ( a_{1}+a_{n} \right ).n}{2}\Rightarrow 220=\frac{\left \{ a_{1}+ \left [ a_{1}+\left ( n-1 \right ) \right ].r\right \}.n}{2}$

2×220 = (30 + 30 – 2.n + 2).n => 440 = 62.n – 2.n²

Simplificando por 2 e rearranjando os termos, temos uma equação do 2º grau em n:

n² – 31.n + 220 = 0

Soluções da equação:

$\dpi{100} n=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4.a.c}}{2.a}=\frac{-\left ( -31 \right )\pm \sqrt{\left (-31 \right )^{2}-4\times 1\times 220}}{2\times 1}$

$\dpi{100} n=\frac{31 \pm \sqrt{961-880}}{2}=\frac{31 \pm \sqrt{81}}{2}=\frac{31\pm 9}{2}$

Soluções:

n₁ = (31 + 9)/2 => n₁ = 20
n₂ = (31 – 9)/2 => n₂ = 11

Menor valor de n: n = 11 (alternativa b)

Exercícios Propostos

01 – (UNICAMP) Considere que (a, b, 3, c) é uma progressão aritmética de números reais, e que a soma de seus elementos é igual a 8. O produto dos elementos dessa progressão é igual a

a) 30 b) 10 c) – 15 d) – 20

02 – (ESCOLA NAVAL) Seja S_n = n² + n + 1 a soma dos termos de uma sequência numérica Sobre essa sequência assinale a opção correta.

a) Essa sequência numérica não é uma progressão aritmética.

b) A diferença entre o quinto e o quarto termo é 3.

c) Sua razão é 4.

d) S_n é um número múltiplo de 7.

e) Seu sétimo termo é 32.

03 – (ENEM) Um hotel de 3 andares está sendo construído. Cada andar terá 100 quartos. Os quartos serão numerados de 100 a 399 e cada um terá seu número afixado à porta. Cada número será composto por peças individuais, cada uma simbolizando um único algarismo.

Qual a quantidade mínima de peças, simbolizando o algarismo 2, necessárias para identificar o número de todos os quartos?

a) 160 b) 157 c) 130 d) 120 e) 60

04 – (UECE) A listagem infinita de números naturais apresentada abaixo está organizada e ordenada segundo uma lógica estrutural própria:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, …

O resultado da soma dos primeiros 2020 números da listagem apresentada é

a) 7007 b) 7700 c) 7070 d) 7770

05 – (UDESC) Sejam $\dpi{100} \left ( 16,\, 18,\, 20,\, \cdots \right )$ e $\dpi{100} \left ( \frac{1}{2},\, 3,\, \frac{11}{2},\, \cdots \right )$ duas progressões aritméticas. Estas duas progressões apresentarão somas iguais, para uma mesma quantidade de termos somados, quando o valor da soma for igual a:

a) 154 b) 4.774 c) 63 d) 4.914 e) 1.584

06 – (UEFS) Uma progressão aritmética (PA) possui 17 termos, todos positivos. A diferença entre o maior termo (a₁₇) e o menor termo (a₁) dessa PA é igual a 48. Sabendo que, dentre os números primos que ocorrem nessa PA, 13 é o menor e 43 é o maior, o valor de a₁ + a₁₇ é

a) 59 b) 62 c) 65 d) 68 e) 71

07 – (AMAN) Uma fábrica de tratores agrícolas, que começou a produzir em 2010, estabeleceu como meta produzir 20.000 tratores até o final do ano de 2025. O gráfico abaixo mostra as quantidades de tratores produzidos no período 2010-2017.

Admitindo que a quantidade de tratores produzidos evolua nos anos seguintes segundo a mesma razão de crescimento do período 2010-2017, é possível concluir que a meta prevista

a) deverá ser atingida, sendo superada em 80 tratores.

b) deverá ser atingida, sendo superada em 150 tratores.

c) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 1.850 tratores a menos.

d) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 150 tratores a menos.

e) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 80 tratores a menos.

08 – (ACAFE) Sendo X_n a soma dos n primeiros termos da sequência (3, 5, 7, 9, 11, …) e Y_n o n-ésimo termo da sequência (-3, -35, -67, -99, …) então, a soma dos valores de n sabendo que X_n = Y_n e igual a:

a) 32 b) 34 c) 29 d) 30

09 – (UECE) Seja (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈) uma progressão aritmética. Se a₂ + a₅ = 8 e a₈ = 7, então a₃ + a₇ é igual a:

a) 8 b) 28/3 c) 10 d) 32/3

10 – (MACK) Numa sequência aritmética de 17 termos, sabe-se que A₅ = 3 e A₁₃ = 7. Então a soma de todos os termos é:

a) 102 b) 85 c) 68 d) 78 e) 90

11 – (ENEM) Em uma corrida de regularidade, cada corredor recebe um mapa com o trajeto a ser seguido e uma tabela indicando intervalos de tempo e distâncias entre postos de averiguação. O objetivo dos competidores é passar por cada um dos postos de averiguação o mais próximo possível do tempo estabelecido na tabela. Suponha que o tempo previsto para percorrer a distância entre dois postos de verificação consecutivos seja sempre de 5 min 15 s e que um corredor obteve os seguintes tempos nos quatro primeiros postos.

Caso esse corredor consiga manter o mesmo ritmo, seu tempo total de corrida será

a) 1 h 55 min 42 s

b) 1 h 56 min 30 s

c) 1 h 59 min 54 s

d) 2 h 05 min 09 s

e) 2 h 05 min 21 s

12 – (ESCOLA NAVAL) Quantos números inteiros entre 1 e 1.000 são divisíveis por 3 ou por 7?

a) 47 b) 142 c) 289 d) 333 e) 428

Gabarito

Ex. 01 – alternativa c.

Ex. 02 – alternativa a.

Ex. 03 – alternativa a.

Ex. 04 – alternativa c.

Ex. 05 – alternativa d.

Ex. 06 – alternativa d.

Ex. 07 – alternativa e.

Ex. 08 – alternativa d.

Ex. 09 – alternativa c.

Ex. 10 – alternativa b.

Ex. 11 – alternativa c.

Ex. 12 – alternativa e.

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