M2_DG_Aula 01 – Matrizes
Vamos supor que uma pizzaria ofereça 4 tipos de pizzas de A até E com 3 tamanhos diferentes, P, M e G. Para facilitar, o proprietário monta uma tabela de valores como segue:
A tabela nos mostra rapidamente os valores com tipo e tamanho das pizzas. A parte destacada na tabela, em matemática, podemos representar por uma Matriz.
Na horizontal temos as linhas e na parte vertical as colunas da matriz, que nesse caso, 4×3, ou seja, 4 linhas e 3 colunas.
Formalmente, temos que:
“Denomina-se Matriz do tipo m×n (m por n), toda tabela composta por m.n elementos, distribuídos em m linhas e n colunas.”
Formas de representação de uma matriz:
ou
ou
A representação geral de um elemento matricial é da forma: aij, onde, i representa as linhas e j as colunas.
Exemplo:
Represente, de forma geral, uma matriz M contendo 3 linhas e 2 colunas:
Classificação das Matrizes
De acordo com a quantidade de linhas e/ou colunas, as matrizes podem ser classificadas em:
- m ≠ n ⇨ matriz retangular do tipo m×n
- m = n ⇨ matriz quadrada de ordem n
- m = 1 ⇨ matriz linha
- n = 1 ⇨ matriz coluna
- m = n = 1 ⇨ matriz unitária
Há um interesse especial nas matrizes quadradas, que futuramente serão utilizadas para o estudo dos Determinantes.
Dada uma matriz quadrada A de ordem n, denomina-se:
- Diagonal Principal a composição dos elementos com i = j
- Diagonal Secundária a composição dos elementos ain, a2(n-1), …, an1
Graficamente, para exemplificar, vamos utilizar uma matriz quadrada de ordem 3:
Igualdade entre Matrizes
Condição de igualdade: para duas ou mais matrizes serem iguais, necessariamente elas têm que ser do mesmo tipo.
Duas matrizes A e B são iguais se e somente se, os elementos correspondentes das duas matrizes são iguais.
Simbolicamente, sendo aij ∈ A e bij ∈ B, temos que:
A = B ⇨ aij = bij
Exercícios Resolvidos
01 – (FisMática) Dadas a matrizes quadradas A e B definidas abaixo, quais os valores de x e y para que se tenha A = B?
e
Resolução:
Para as matrizes serem iguais os termos correspondentes têm que ser iguais, ou seja:
2 + x = – 3 ⇨ x = – 3 – 2 ⇨ x = – 5
6 = 2y ⇨ y = 6/2 ⇨ y = 3
02 – (ENEM) Um professor aplica, durante os cinco dias úteis de uma semana, testes com quatro questões de múltipla escolha a cinco alunos. Os resultados foram representados na matriz.
Nessa matriz os elementos das linhas de 1 a 5 representam as quantidades de questões acertadas pelos alunos Ana, Bruno, Carlos, Denis e Érica, respectivamente, enquanto que as colunas de 1 a 5 indicam os dias da semana, de segunda-feira a sexta-feira, respectivamente, em que os testes foram aplicados.
O teste que apresentou maior quantidade de acertos foi o aplicado na
a) segunda-feira. b) terça-feira. c) quarta-feira. d) quinta-feira. e) sexta-feira.
Resolução:
As colunas representam os dias da semana, enquanto as linhas as notas de cada aluno.
Portanto, para sabermos o total de pontos atingido pelos alunos em cada dia de prova, basta somar os valores de cada coluna.
Segunda-feira: 3 + 3 + 2 + 3 + 0 = 11
Terça-feira: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
Quarta-feira: 0 + 4 + 2 + 4 + 0 = 10
Quinta-feira: 1 + 1 + 3 + 1 + 4 = 10
Sexta-feira: 2 + 2 + 2 + 0 + 4 = 10
Resposta: alternativa a
03 – (IFAL) A matriz Aij(2×3) tem elementos definidos pela expressão aij = i3 – j2. Portanto, a matriz A é
a) b)
c)
d)
e)
Resolução:
Para calcularmos a matriz, basta substituir os valore de i e de j na expressão: aij = i3 – j2.
Assim sendo, temos que:
Resposta: alternativa a
Exercícios Propostos
01 – (ENEM) A Transferência Eletrônica Disponível (TED) é uma transação financeira de valores entre diferentes bancos. Um economista decide analisar os valores enviados por meio de TEDs entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mês. Para isso, ele dispõe esses valores em uma matriz A = [aij], em que 1 ≤ i ≤ 5 e 1 ≤ j ≤ 5 e o elemento aij corresponde ao total proveniente das operações feitas via TED, em milhão de real, transferidos do banco i para o banco j durante o mês. Observe que os elementos aii = 0 uma vez que TED é uma transferência entre bancos distintos. Esta é a matriz obtida para essa análise:
Com base nessas informações, o banco que transferiu a maior quantia via TED é o banco
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
02 – (IMED) Em uma grande cidade, para estudar o nível de ruído a que estavam expostos os habitantes, a prefeitura realizou quatro medições diárias durante cinco dias em um cruzamento de grande movimento. Cada elemento aij da matriz a seguir representa o nível de ruído, em decibéis (dB) registrado na medição i do dia j.
De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), 50 dB é o nível máximo recomendável à exposição do ouvido humano.
Com as informações apresentadas, determine o nível médio de ruídos registrados no quarto dia e assinale a alternativa correta:
a) 46 dB b) 46,5 dB c) 52 dB d) 65,5 dB e) 68,5 dB
03 – (UEG) A matriz triangular de ordem 3, na qual aij = 0 para i > j e aij = 4i – 5j + 2 para i ≤ j é representada pela matriz
a) b)
c)
d)
e)
04 – (UNICAMP) Em uma matriz, chamam-se elementos internos aqueles que não pertencem à primeira nem à última linha ou coluna. O número de elementos internos em uma matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a
a) 12 b) 15 c) 16 d) 20
05 – (ESPM) A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de apartamentos é dada pela matriz
onde cada elemento aij representa a quantidade de moradores do apartamento j do andar i.
Sabe-se que, no 1º andar, moram 3 pessoas a mais que no 2º e que os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas ao todo. O valor de n é:
a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34
06 – (CEFET) Cinco amigos A1, A2, A3, A4, A5 viajaram juntos num fim de semana e, durante a viagem, as despesas foram divididas igualmente entre eles. Entretanto, para facilitar o troco, algumas vezes um emprestava dinheiro para o outro.
Considere que nas matrizes S e D, abaixo, estão registrados os valores, em Reais, que cada um emprestou para o outro no sábado e no domingo, respectivamente, sendo que o elemento da linha i e da coluna j representa o que o amigo Ai emprestou ao amigo Aj nesse dia, com i e j variando de 1 a 5.
Ao final da viagem, o amigo A4 ainda devia aos demais amigos, em reais, a quantia de
a) 10 b) 15 c) 31 d) 41 e) 72
07 – (EPCAR) Um jogo consiste na disputa de dois adversários que, em um tabuleiro quadrado, dividido em 16 outros quadrados menores e congruentes, conforme figura abaixo, devem conseguir alinhar VERTICALMENTE, HORIZONTALMENTE ou em DIAGONAL, quatro algarismos iguais.
Cada jogador, após escolher o algarismo com o qual irá preencher os quadrados menores, escreve um número por vez, em qualquer quadrado menor do tabuleiro, e passa a vez para o adversário.
Vence o primeiro que alinhar os quatro algarismos iguais.
No quadrado abaixo, estão registradas, numa partida desse jogo, as jogadas de Lucas, que escolheu o algarismo 5 e as jogadas de Mateus, que escolheu o algarismo 7.
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa.
( ) Se o próximo jogador for Lucas, ele não terá chance de ganhar o jogo, nessa jogada.
( ) Se o próximo jogador for Mateus, então, para garantir a vitória nessa jogada, ele poderá escrever o algarismo 7 em duas posições.
( ) Se Mateus for o próximo a jogar e NÃO escrever o algarismo 7 em um quadrado que dê a vitória a ele, então, Lucas poderá ganhar a partida na jogada seguinte à de Mateus.
Sobre as proposições, tem-se que
a) apenas uma é falsa.
b) todas são verdadeiras.
c) apenas duas são falsas.
d) todas são falsas.
08 – (IFSUL) A temperatura da cidade de Porto Alegre – RS foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante 6 dias. Cada elemento aij da matriz
corresponde à temperatura observada no tempo i do dia j. Com base nos dados da matriz A, analise as seguintes proposições:
I. A temperatura mínima registrada está na posição a12
II. A maior variação de temperatura registrada entre os tempos 1 e 2 aconteceu no primeiro dia.
III. A temperatura máxima registrada está na posição a34
Estão corretas as afirmativas
a) I e III apenas b) I e II apenas c) II e III apenas d) I, II e III
09 – (ENEM DIGITAL) Uma empresa avaliou os cinco aparelhos de celulares (T1, T2, T3, T4 e T5) mais vendidos no último ano, nos itens: câmera, custo-benefício, design, desempenho da bateria e tela, representados por I1, I2, I3, I4 e I5, respectivamente. A empresa atribuiu notas de 0 a 10 para cada item avaliado e organizou essas notas em uma matriz A, em que cada elemento Aij significa a nota dada pela empresa ao aparelho Ti no item Ij. A empresa considera que o melhor aparelho de celular é aquele que obtém a maior soma das notas obtidas nos cinco itens avaliados.
Com base nessas informações, o aparelho de celular que a empresa avaliou como sendo o melhor é o
a) T1 b) T2 c) T3 d) T4 e) T5
10 – (IFPE) Anselmo (1), Eloi (2), Pedro (3) e Wagner (4) são matemáticos e, constantemente, se desafiam com exercícios. Com base na matriz D, a seguir, que enumera cada elemento aij representando o número de desafios que “i” fez a “j” assinale, respectivamente, quem mais desafiou e quem foi mais desafiado.
a) Anselmo e Pedro.
b) Eloi e Wagner.
c) Anselmo e Wagner.
d) Pedro e Eloi.
e) Wagner e Pedro.
Gabarito
Ex. 01 – alternativa a.
Ex. 02 – alternativa a.
Ex. 03 – alternativa a.
Ex. 04 – alternativa a.
Ex. 05 – alternativa c.
Ex. 06 – alternativa a.
Ex. 07 – alternativa a.
Ex. 08 – alternativa d.
Ex. 09 – alternativa d.
Ex. 10 – alternativa a.