M2_DG_Aula 03 – Matrizes: Soma, Subtração e Multiplicação por k
Nesta aula vamos estudar a Soma e Subtração entre duas matrizes e o produto de uma matriz por uma constante.
Adição e Subtração
Obs.: para que possa ocorrer a soma ou subtração entre duas matrizes, elas devem ser do mesmo tipo, ou seja terem o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.
Dadas duas matrizes A e B, do mesmo tipo m×n, denomina-se soma dessas matrizes uma terceira matriz C do mesmo tipo de A e B, cujos elementos são obtidos com a soma dos elementos correspondentes de A e B. Exemplo:
Sendo as matrizes:
e
A matriz C = A + B, é:
Considerando, por exemplo, que 7 – 5 = 7 + (– 5), podemos aplicar o mesmo raciocínio para determinar a subtração entre duas matrizes, temos que:
D = A – B = A + (– B)
Ou seja, a subtração entre duas matrizes, A – B, é realizada pela soma da matriz A pela oposta da matriz B.
Aproveitando o nosso exemplo, a matriz D = A – B, é:
Simbolicamente, a soma entre duas matrizes é dada por:
Dadas as matrizes Am×n com elementos aij e Bm×n com elementos bij, a matriz C = A + B, será do tipo Cm×n com elementos cij = aij + bij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Propriedades da Adição de Matrizes
As propriedades da adição entre matrizes são as mesmas, que você já deve conhecer, para a soma de números.
Sejam as matrizes A, B, C e N, todas do mesmo tipo, onde N é uma matriz nula.
- Comutativa: A + B = B + A
- Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
- Elemento neutro: A + N = N + A = A
- Elemento oposto: A + (– A) = (– A) + A = N ou A + A’ = A’ + A = N
Multiplicação de uma Matriz por uma constante k
Não podemos nos esquecer que a Multiplicação, nada mais é do que uma soma de termos iguais, por exemplo:
5×8 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8
Portando, na prática, multiplicar uma matriz A por uma constante k, significa multiplicar cada termo da matriz A pelo valor de k. Exemplo:
Dada uma matriz A e sendo k = 3, determine a matriz B = k.A.
Propriedades da Multiplicarão de Matrizes por constantes
Sejam as matrizes A e B, do mesmo tipo, e as constantes a,b ∈ ℝ, temos que:
- a∙(A + B) = a∙A + a∙B
- (a + b)∙A = a∙A + b∙A
- (a∙b)∙A = a∙(b∙A)
- (a∙A)t = a∙At
Exercícios Resolvidos
01 – (FisMática) Dada a matriz , se At é a matriz transposta de A, então a soma de A + 3.At é igual a:
a) b)
c)
d)
e)
Resolução:
A transposta da matriz A é: , sendo:
Fazendo a conta A + 3.At, temos como resultado: (alternativa c)
02 – (UDESC) Considere as matrizes
,
e
A soma dos quadrados das constantes x, y, a, b e c que satisfazem a equação matricial A – 6B = C é:
a) 26 b) 4 c) 41 d) 34 e) 16
Resolução:
Como , temos que:
Igualando os termos correspondentes, conseguimos calcular diretamente a, b e c:
Agora podemos calcular x e y:
Finalmente, a soma pedida é:
(alternativa a)
Exercícios Propostos
01 – (FACEAG) Dadas as matrizes:
e
,
então 3.A – 4.B é igual a:
a) b)
c)
d)
02 – (UEL) Atualmente, com a comunicação eletrônica, muitas atividades dependem do sigilo na troca de mensagens, principalmente as que envolvem transações financeiras. Os sistemas de envio e recepção de mensagens codificadas chamam-se Criptografia. Uma forma de codificar mensagens é trocar letras por números, como indicado na tabela-código a seguir.
Nessa tabela-código, uma letra é identificada pelo número formado pela linha e pela coluna, nessa ordem. Assim, o número 32 corresponde à letra N. A mensagem final M é dada por A + B = M onde B é uma matriz fixada, que deve ser mantida em segredo, e A é uma matriz enviada ao receptor legal. Cada linha da matriz M corresponde a uma palavra da mensagem, sendo o 0 (zero) a ausência de letras ou o espaço entre palavras.
José tuitava durante o horário de trabalho quando recebeu uma mensagem do seu chefe, que continha uma matriz A. De posse da matriz B e da tabela-código, ele decodificou a mensagem.
O que a chefia informou a José?
Dados:
a) Sorria você está sendo advertido.
b) Sorria você está sendo filmado.
c) Sorria você está sendo gravado.
d) Sorria você está sendo improdutivo.
e) Sorria você está sendo observado.
03 – (FisMática) Dada a matriz A = , se At é a matriz transposta de A, então a soma de 2.A + At é igual a:
a) b)
c)
d)
e)
04 – (UFBA) Se e
, a matriz transposta de P – 2.Q é:
a) b)
c)
d)
e)
05 – (FEI) Se as matrizes A = (aij) e B = (bij) estão assim definidas:
onde 1 ≤ i, j ≤ 3 então a matriz A + B é:
a) b)
c)
d)
e)
06 – (ESCOLA NAVAL) Considere as seguintes matrizes
,
e
A soma dos quadrados das constantes reais x, y, a, b, c que satisfazem à equação matricial R – 6.S = T é
a) 23 b) 26 c) 29 d) 32 e) 40
07 – (UNOPAR) Considere as matrizes ,
e
.
Se a e b são números reais tais que a.A + b.B = C, pode-se afirmar que:
a) a = 1, b = –1 b) a = –1, b = 1 c) a = b = 1 d) a = b = 0 e) a = b = –1
08 – (FAC. FRANCISCANAS) Sendo ,
e
, calcule X em 2.X – A – B + 3C = 0
a) b)
c)
d)
e)
09 – (FEPAR) Uma matriz quadrada A de ordem n é antissimétrica quando for igual a oposta de sua matriz transposta.
Se a matriz for antissimétrica, o valor da expressão ax + by + cz é:
a) – 3 b) – 2 c) 0 d) 2 e) 5
10 – (PUC) Se ,
e
, então a matriz X, de ordem 2, tal que
é igual a:
a) b)
c)
d)
e)
Gabarito
Ex. 01 – alternativa c.
Ex. 02 – alternativa b.
Ex. 03 – alternativa e.
Ex. 04 – alternativa b.
Ex. 05 – alternativa d.
Ex. 06 – alternativa b.
Ex. 07 – alternativa d.
Ex. 08 – alternativa c.
Ex. 09 – alternativa b.
Ex. 10 – alternativa b.